Lamda Exponentialverteilung

04.07.2013, 11:45	nochnichtProf	Auf diesen Beitrag antworten »
Lamda Exponentialverteilung Meine Frage: Hallo, ich/wir haben eine Aufgabe zu der wir etwas unsicher sind. "Ein Mitarbeiter verläßt an 225 Arbeitstagen im Jahr sein Büro jeweils kurz nach Dienstschluss. Dauer der Überstunden lässt sich Lambda-exponentialverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert 5 Minuten beschreiben (unabhängig) . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Mitarbeiter mehr als 15 h im Jahr Überstunden leistet. Meine Ideen: Lambda = 0,2 1/min P(X>900 min) =1- P(X<= 900 min). Erlang verteilt: 1- (1- exp(-Lambda * 900) * Summe von i= 0 bis 224 ((Lamda900)^i)/(i!))) Aber Problem Fakultät 224 !!!!! Daher Ansatz: Gedächtnislosigkeit Wahrscheinlichkeit, dass Arbeiter in 225 Tagen 900 Minuten macht = = Wahrscheinlichkeit, dass Arbeiter an 1 Tag 900/225 =4 min macht. Dann: P(X<=4min)= 1- (1- exp(-Lambda 4) = 44,93% Ist das so richtig? Vielen Dank für Eure Antworten.
06.07.2013, 05:37	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, für $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ habe ich auch 0,2. Nimmt man jetzt die Exponentialverteilung als Grundlage, dann ist der Erwartungswert $\begin{eqnarray} E(X_i)=5 \end{eqnarray}$ und die Varianz $\begin{eqnarray} V(X_i)= 25 \end{eqnarray}$ . Somit ist jeder einzelne Tag ein Zufallsexperiment mit der eigenen Zufallsvariable $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ Der Erwartungswert für alle 225 Tage ist dann $\begin{eqnarray} E(X)=E(\sum_{i=1}^{225} X_i)=\sum_{i=1}^{225} E(X_i) \end{eqnarray}$ Für die Varianz gilt bei unabhängigen ZV´s, dass $\begin{eqnarray} Var\left( \sum_{i=1}^n X_i \right)=\sum_{i=1}^n Var(X_i) \end{eqnarray}$ Da die Zufallsvariablen $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ identisch und unabhängig verteilt sind, gilt der zentrale Grenzwertsatz und man kann die Verteilung von $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ mit einer bestimmten Verteilung approximieren. Grüße.
06.07.2013, 14:58	nanoneo	Auf diesen Beitrag antworten »
Probiers doch mal mit dem Ansatz: Mit dem Ansatz von Kasen75, dass der Erwartungswert pro Tag aufsummiert wird auf den Erwartungswert der "Überminuten" pro Jahr könnte man das doch mit dem Ansatz von nochnichtProf verbinden. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{225} E(X_{i})= 2255=1125 \end{eqnarray}$ Lambda ist somit: $\begin{eqnarray} E(X)=\frac{1}{\lambda}=1125 => \lambda = \frac{1}{1125} \end{eqnarray}$ Dann in die Verteilungsfunktion der Exp.verteilung: $\begin{eqnarray} P(X>900)=1-F_{Ex}(900)=1-(1-e^{-\frac{1}{1125}900 })=1-e^{-\frac{4}{5} }=0,4493 \end{eqnarray}$ Zu einer Wkeit von 44,93% leistet der Arbeiter mehr als 15 Überstunden im Jahr.

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