LR-Zerlegung bei nicht-quadratischen Matrizen

04.07.2013, 13:15	Karlheinz11	Auf diesen Beitrag antworten »
LR-Zerlegung bei nicht-quadratischen Matrizen Meine Frage: Hallo allerseits. Wir sollen eine LR-Zerlegung von Matrizen machen, die nicht-quadratisch sind. Jetzt weiß ich nicht mal, wie der Anfang zu machen ist. Ich geb euch mal die komplette Aufgabe: Gegeben ist die Matrix $\begin{eqnarray} A \in \mathbb R ^{3,4} \end{eqnarray}$ gemäß $\begin{eqnarray} A=\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & 5 \\ 2 & 2 & 1 & 6\\3 & 1 & -1 & 7\end{bmatrix} \end{eqnarray}$ . Berechnen Sie mittels Zeilenelimination die LR-Zerlegung der Form $\begin{eqnarray} A R^{-1}=L \end{eqnarray}$ mit einer oberen Dreiecksmatrix $\begin{eqnarray} R^{-1} \in \mathbb R ^{4,4} \end{eqnarray}$ und einer unteren Dreiecksmatrix $\begin{eqnarray} L\in \mathbb R ^{3,4} \end{eqnarray}$ . Hinweis: Für eine gegeben Matrix $\begin{eqnarray} A \in \mathbb R^{m,n} \end{eqnarray}$ suchen wir eine LR-Zerlegung mit den folgenden Eigenschaften: $\begin{eqnarray} R\in\mathbb R^{n,n} \end{eqnarray}$ invertierbar und $\begin{eqnarray} L=(l_{ij}) \in\mathbb R^{m,n} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} l_{ij}=1 \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} i=j \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} l_{ij}=0 \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} i<j \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Ich weiß einfach nicht, wie ich den Ansatz machen soll. Bin für jeden Hilfe dankbar.
06.07.2013, 00:28	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: LR-Zerlegung bei nicht-quadratischen Matrizen Bringe A mit Gaußverfahren auf Stufenform und hänge die Zeile "0001" unten dran. Diese Matrix ist R und es muss gelten: A=LR L hat die Form 1 0 0 0 a 1 0 0 b c 1 0 -a und -b entsprechen den Werten, mit denen ich beim Gaußverfahren die 1. Zeile malnehmen muss, um sie mit der 2. bzw 3. Zeile zu addieren. Mit -c wird die 2. multipliziert um sie im letzten Schritt mit der 3. zu addieren.

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