Nullstelle von Polynom, Zwischenwertsatz |
| 04.07.2013, 15:38 | Gernwissen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Nullstelle von Polynom, Zwischenwertsatz ich habe eine Funktion von f =: f(x) = 4x^3-x^2-12x+3. meine erste Frage ist, wie kann ich zeigen, dass das Polynom f keine ganzzahlige Nustelle besitzt.meine zweite Frage ist, wie kann ich mit Hilfe des Zwischenwertsatzzes, dass f im Intervall[-2,2] genau drei verschiedene reelle Nullstellen besizt. meine Dritte Frage, wie viel Verfahren gibt, um die Nullstelle von Polynom zu berecchnen. Meine Ideen: bei dem Erste Frage : ich werde mit Hormor-Schema verwenden um zu zeigen, das Polynom f keine ganzzahlige Nullstelle besitzt. |
||||
| 04.07.2013, 21:12 | Lamiah | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Nullstelle von Polynom, Zwischenwertsatz Deine (reelle?) Funktion f ist offenbar stetig. Dann gilt nach dem ZWS für Sei a<b und f(a)<0 und f(b)> 0, dann existiert ein Für die 3 Nullstellen hast Du ja schon netterweise ein Intervall vorgegeben bekommen. Prüfe doch mal die ganzen Zahlen aus diesem Intervall, Du wirst sicher Vorzeichenwechsel der Funktionswerte feststellen. 
|
||||
| 09.07.2013, 10:02 | Araschi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Nullstelle von Polynom, Zwischenwertsatz Ich habe genau das selbe Problem auch die selbe Aufgabe. Mein Problem ist wie zeige ich den das es genau drei verschiedene Nullstellen hat ? Wenn ich -2,-1,0,2,1 einsetze kommen keine Nullstellen raus ?? Desweiteren wie kann ich zeigen das das Polynom keine ganzzahligen Nullstellen hat ?? |
||||
| 09.07.2013, 10:26 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn wäre, dann gäbe es ja auch ganzzahlige Nullstellen. Die Idee hier sollte sein, sich die Vorzeichen der Funktionswerte an diesen Stellen anzusehen und dann mit dem Zwischenwertsatz zu arbeiten. |
||||
| 09.07.2013, 10:41 | Araschi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja nur wie 
Ich bin leider ein Mathe-Nichts-Versteher und habe morgen meine Mündliche Prüfung und damit der letzte Schein der mir fehlt. |
||||
| 09.07.2013, 10:44 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Anwendung des ZWS ist eigentlich denkbar einfach, sie steht in der Aussage direkt mit drin...worin hast du die Prüfung? Was ist die Aussage des Zwischenwertsatzes? |
||||
| Anzeige | ||||
|
|
||||
| 09.07.2013, 10:47 | Araschi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Meine Prüfung ist Computermathematik (Informatiker) Themen sind : Konvergenz von Folgen Konvergenz von Reihen Zwischenwertsatz , Nullstellen von Polynomen Ableitungen (Das ist das einzige was ich derzeit halbwegs kann) Taylor Polynom Riemann Integrierbarkeit Integrationsmethoden Uneigentliches Integral. Habe die Klausur bekommen und muss diese erklären können. Sehe mich schon durchfallen. Die Aussage des Zwischenwertsatz ist ja eigentlich der das für ein Intervall a,b gilt wenn a < b und f(a) < 0 und f(b) > 0 dann existiert ein element aus dem intervall welches null ist also eine nullstelle hat. |
||||
| 09.07.2013, 10:55 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du hast eine wichtige Voraussetzung vergessen, die Funktion sollte stetig sein. Anders formuliert: wenn für eine stetige Funktion gilt (oder auch ), die Funktion also auf dem Intervall das Vorzeichen wechselt, dann gibt es auch eine Nullstelle in diesem Intervall. Du solltest bei deiner Aufgabe also nach möglichen Kandidaten für diese Vorzeichenwechsel suchen. |
||||
| 09.07.2013, 11:05 | Araschi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bedeutet also das ich ganzzahlige Werte in die Funktion f(x) = 4x^3 - x^2 - 12x +3 eingeben soll. Und gucken muss wann sich das vorzeichen wechselt ? Aber wie kann ich daraus schließen das a) das Polynom f keine ganzzahligen Nullstellen besitzt und b) feststellen das im Intervall [-2, 2] genau drei nullstellen verschiedene Nullstellen besitzt? Habe also für die Werte -2 = -9 -1 = 10 0 = 3 1 = -6 2 = 7 Heisst das bei negativen vorzeichen keine Nullstelle und bei positiven Vorzeichen eine Mögliche Nullstelle ? |
||||
| 09.07.2013, 11:06 | Araschi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich weiß das ich echt keine Ahnung habe das tut mir auch sehr leid wenn ich auf Anhieb nicht alles verstehe... |
||||
| 09.07.2013, 11:07 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ganzzahlige Werte bieten sich hier an, da man diese recht einfach im Kopf berechnen kann. Du hast jetzt also: , was sagt jetzt der Zwischenwertsatz? |
||||
| 09.07.2013, 11:11 | Araschi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ahhhhh!!! Also ist im Intervall von [-2, -1] a < b, f(a) also -9 < 0 und f(b) also 10 > 0 gegeben und somit ist in diesen Intervall eine Nullstelle richtig ?= |
||||
| 09.07.2013, 11:13 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau, damit hast du eine Nullstelle gefunden (diese ist auch nicht ganzzahlig). Kannst du aus den berechneten Werten noch weitere Nullstellen bestimmen? |
||||
| 09.07.2013, 11:16 | Araschi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also im Intervall [-1, 0] liegt keine Nullstelle vor da f(b) != 0 im Intervall [1,0] liegt eine Nullstelle vor da a<b, f(a) also -6 < 0 und f(b) also 3 > 0 und im Intervall [1, 2] müsste die Dritte nullstelle sein da auch alle Kriterien zu treffen. |
||||
| 09.07.2013, 11:18 | Araschi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also sehe ich das richtig das ich mit Hilfe der ZWS zeigen kann das das Polynom f kein ganzahlige Nullstelle besitzt indem ich einfach Werte einsetzte ? Da gibt es ja aber noch kein Intervall wie sehe ich dann das da keine ganzzahligen rauskommen. Den aufgabenteil b also mittels ZWS im Intervall [-2,2] rausfinden das 3 Nullstellen da sind das habe ich super verstanden
) |
||||
| 09.07.2013, 11:28 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, das kann man mit dem Zwischenwertsatz nicht sagen. Betrachte z.B. die Funktion . Dann ist , trotzdem liegt im Intervall eine Nullstelle. Durch einfaches Werte einsetzen kann man das natürlich nicht begründen. Aber: du hast drei Nullstellen nachgewiesen, wo liegen diese bzw. können diese ganzzahlig sein? Jetzt guck dir nochmal die Funktion an, könnte es noch andere Nullstellen als die drei gefundenen geben? |
||||
| 09.07.2013, 11:32 | Araschi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da der Exponent der Funktion ^3 ist gibt es nur Maximal 3 Nullstellen
Dementsprechend kann ich ableiten da ich 3 nicht ganzzahlige gefunden habe das es keine weiteren geben kann ? meinst du das ? |
||||
| 09.07.2013, 12:28 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das wär die gesuchte Begründung. |
||||
| 09.07.2013, 13:10 | Araschi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hab vielen Dank das erste mal das ich mal was richtig verstanden habe
|
||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
