Untervektorräume und Dimension (zwei Vektoren)

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LuisaMathe Auf diesen Beitrag antworten »
Untervektorräume und Dimension (zwei Vektoren)
Meine Frage:
Hallo,

hier ist die Aufgabenstellung:

Seien U1 und U2 nichttriviale Unterra ?ume eines endlichdimensionalen K-Vektorraumes V . Jeder Vektor v ? V gestatte eine eindeutige Darstellung v = u1+u2 mit gewissen Vektoren u1 ? U1 und u2 ? U2. Weisen Sie nach, dass gilt:

dimK U1 + dimK U2 = dimK V.

Meine Ideen:
Ich habe mir folgendes gedacht:

Der Vektor v kann durch 2 Vektoren: u1 und u2 eindeutig dargestellt werden.
Wir legen fest das dim V=n ist und damit gilt v=(v1,...,vn) und für u1=(a1,...,am) und u2=(b m+1,...,bn)
gilt dann

dim m+ dim (m-n)=dim n
und damit

dim u1+dim u2=dim V

aber irgendwie kommt mir das komisch vor weil ich ja auch schreiben kann dass a=(a1,...an) und b=(b1,...,bn) und dann wärs ja:

2(dim n)=dim n und das ist ja falsch..
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Tipp: betrachte die Vereinigung einer Basis von U1 und einer Basis von U2.
LuisaMathe Auf diesen Beitrag antworten »

meinst du, dass die vereinigung leer sein sollte? oder versteh ich dich falsch? verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Warum sollte die Vereinigung der 2 Basen leer sein ? Jeder Vektorraum>0 hat eine nichtleere Basis. Der Trick bei der Aufgabe besteht in der "eindeutigen" Darstellung

Noch deutlicher gesagt: Jeder Vektor hat nach Voraussetzung eine Darstellung mit Vektoren der Vereinigung , also ist ein Erzeugendensystem von . Damit eine Basis von ist, ist notwendig und hinreichend, dass ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von ist.

Du musst also nur noch aus der Eindeutigkeit der Darstellung für alle v die lineare Unabhängigkeit von B folgern. Und dann kannst du die Vektoren in abzählen, die Zahlen sind ja gerade die Mächtigkeiten der Basen, also die Dimensionen der Vektorräume.
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