Übung zu Analysis 1 - Unverständliche Aufgabe

04.07.2013, 20:35	MatheTools	Auf diesen Beitrag antworten »
Übung zu Analysis 1 - Unverständliche Aufgabe Hallo zusammen, ich versuche mich gerade an ein paar Übungsblättern aus dem Inet und komme bei einer Aufgabe leider nicht wirklich weiter. Meine Frage: Wie kann folgender (math.) Satz richtig sein? Man zeige: Ist $\begin{eqnarray} x \in \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x < \epsilon \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ , so folgt $\begin{eqnarray} x = 0 \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Also ehrlich gesagt ergibt die Folgerung keinen Sinn für mich. Wieso muss daraus folgen dass $\begin{eqnarray} x = 0 \end{eqnarray}$ ? Ich hätte eher auf $\begin{eqnarray} x \leq 0 \end{eqnarray}$ getippt. Aber mal ganz abgesehen davon, wie könnte man sowas beweisen? Ich hätte mich jetzt daran versucht epsilon immer kleiner werden zu lassen und anschließend mit $\begin{eqnarray} x\leq0 \end{eqnarray}$ (da epsilon nie 0 ist) weiterzuarbeiten. Aber irgendwie will mir dieser Ansatz auch nicht gefallen. Ein anderer Ansatz wäre es zu versuchen das ganze mit diesem "Sandwich-Lemma" anzugehen. Nur komme ich dort auch nicht wirklich weiter. Ich lande bei $\begin{eqnarray} -(x-\epsilon) > 0 > x-\epsilon \end{eqnarray}$ , was zwar schön und gut ist, mir aber im Endeffekt nicht mehr bringt als $\begin{eqnarray} -(-2 - 0) > 0 > -2 - 0 \end{eqnarray}$ . Über einen kleinen Denkanstoß würde ich mich sehr freuen
04.07.2013, 20:47	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich studiere zwar nicht Mathe und mit dem Sandwich-Lemma kenne ich mich nicht aus, aber du kannst ja einfach mal annehmen, dass x positiv ist. Dann soll $\begin{eqnarray} \epsilon>x \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ sein. Wähle nun ein Epsilon geschickt aus und führe es zu einem Widerspruch.
04.07.2013, 21:13	MatheTools	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Antwort Gmasterflash, aber leider habe ich ein grad ein gigantisches Brett vor'm Kopf.. Ich kann mir vorstellen worauf das ganze wohl hinauslaufen wird: - Angenommen $\begin{eqnarray} x \neq 0 \Leftrightarrow x > 0 \vee x < 0 \end{eqnarray}$ -- $\begin{eqnarray} x>0 ...dann... Widerspruch \end{eqnarray}$ -- $\begin{eqnarray} x<0 ...dann... Widerspruch \end{eqnarray}$ - Also muss $\begin{eqnarray} x = 0 \end{eqnarray}$ Nur was heißt es jetzt epsilon geschickt zu wählen?
04.07.2013, 21:17	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Abschätzung $\begin{eqnarray} x<\epsilon \end{eqnarray}$ soll ja für jedes Epsilon gelten. Du kannst also auch einfach irgendein $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ nehmen, was "kleiner" ist als das gewählt $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ . Wie $\begin{eqnarray} \epsilon:=\frac{x}{2} \end{eqnarray}$
04.07.2013, 21:21	MatheTools	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh natürlich :S Und das reicht für den Beweis? Also annehmen dass x ungleich 0 ist, beide unterfälle zum Widerspruch führen und somit zeigen dass x gleich 0 ist?
04.07.2013, 21:28	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Meiner Meinung nach sollte das reichen, ja.
Anzeige

04.07.2013, 21:38	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Das dürfte ohne weitere Voraussetzungen aber schwierig werden, da natürlich auch für x<0 die Aussage erfüllt ist. Jede negative Zahl ist kleiner als alle positiven.
04.07.2013, 21:59	MatheTools	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh Gott, verzeiht mir. Die Farbpatrone meines Druckers scheint fast leer zu sein. (Oder der Drucker gibt langsam den Geist auf..) Jedenfalls müsste es eigentlich wie folgt aussehen: (kann den ersten Post leider nicht mehr editieren) Man zeige: Ist $\begin{eqnarray} x \in \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \|x\| < \epsilon \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ , so folgt $\begin{eqnarray} x = 0 \end{eqnarray}$ . Dank des Betrags sollte sich der Beweis auf einen Fall reduziert haben, da immer Positiv. Also insgesamt: Beweis: Angenommen $\begin{eqnarray} x \neq 0 \Leftrightarrow x < 0 \vee x > 0 \end{eqnarray}$ Sei nun $\begin{eqnarray} \epsilon:=\frac{\|x\|}{2} \end{eqnarray}$ Dann gelte für beide Fälle $\begin{eqnarray} \|x\|<\frac{\|x\|}{2} \end{eqnarray}$ , Widerspruch! Also gilt $\begin{eqnarray} x = 0\qed \end{eqnarray}$

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »