Komplexe Integralrechnung |
05.07.2013, 08:16 | Womanpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Komplexe Integralrechnung Hallo seit gegrüßt. Ich muss bei a) zeigen, dass die Funktion keine Stammfunktion besitzt. Bei der b) soll ich folgende Integrale berechnen: i) ii) für alle , wobei die Pfade gegeben sind durch mit Meine Ideen: Ich kämpfe irgendwie mit dem Verständnis bei der Aufgabe besonders bei der a). Bei der b) sieht es ein wenig besser aus. Ich verstehe nur nicht was mit den Pfaden gemeint ist. Bei dem ersten Integral könnte man ja mit Produktintegration integrieren? Bei dem zweiten Integral mit Substitution? Jedoch verstehe ich nicht was ich mit den Pfaden und dem t anstellen soll. Ein danke für alle Helfer und Durchleser dieser Aufgabe Zweiten Beitrag hier reinkopiert und gelöscht. Steffen Guten Morgen. Ich nehme mal richtig an, dass dies hier meine Parametrisierung ist für alle , wobei die Pfade gegeben sind durch mit ? |
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06.07.2013, 09:17 | Womanpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Komplexe Integralrechnung Also allgemein gilt ja: Ist eine stetige Funktion und eine stückweise stetig differenzierbare Kurve in , so heißt das Kurvenintegral von längs ausführlich geschrieben: Nehme ich jetzt richtig an, dass Ich verstehe nicht was das sein soll? Wie soll ich meine Parametrisierung dort einsetzen? |
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06.07.2013, 09:43 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ist dir bekannt, daß holomorphe Funktionen beliebig oft differenzierbar sind? Wenn also eine Stammfunktion besäße, dann wäre differenzierbar: . Wie sieht es aber bei mit den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen aus? Alternativ kannst du auch das Integral über den Einheitskreis berechnen. Das müßte sein, wenn es bei eine Stammfunktion gäbe. Bei b) brauchst du nicht zu parametrisieren. Wenn eine Stammfunktion besitzt, dann gilt , wobei Anfangs- bzw. Endpunkt von sind. |
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06.07.2013, 10:32 | Womanpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ja zu den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen weiß ich ja, wenn ich eine Funktion habe, ist diese genau dann holomorph, wenn die Funktionen total differenzierbar sind und wenn gilt: Ja mir ist bekannt, dass holomorphe Funktionen beliebig oft differenzierbar sind. Ja das macht Sinn. Aber ich soll ja zeigen, dass die Funktion keine Stammfunktion besitzt.
Okay. Hm kommt mir irgendwie komisch vor. Berechne ich dann mit partieller Integration? Ich bin mir nicht im Klaren, was das Integrationsgebiet bei den Integralen sein soll Danke für Deine Antwort Leopold |
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06.07.2013, 10:38 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Eben. Führe einen Beweis durch Widerspruch.
Nix berechnen. Nur scharf hinschauen. Die Stammfunktion kann man ablesen. |
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06.07.2013, 11:03 | Womanpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich nehme also an, dass die Funktion eine Stammfunktion besitzt und zeige in Wirklichkeit, dass sie keine besitzt. Weiß nur nicht so recht wie ich den Beweis durchführen soll. Die Idee ist ja eig klar. Was ist eigentlich ? bildet ab auf den Imaginärteil von ? D.h.?
Ja eig. schon. Also und Aber was hat es dann mit dem Pfad auf sich? Also ? Dann blicke ich irgendwie nicht dahinter. |
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06.07.2013, 11:09 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Machen wir nicht zu viel auf einmal und bleiben wir bei a). Gegeben ist die Funktion Wenn man in Real- und Imaginärteil zerlegt: , was sind hier und ? |
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06.07.2013, 11:22 | Womanpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Oki. Ja und |
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06.07.2013, 11:29 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Sinn! ist eine Variable und kein Wert! Das ist nicht richtig. Etwas flapsig, aber hoffentlich verständlich: ist alles, was kein , und alles, was ein besitzt. Die Probe stimmt ja auch gar nicht. Mit deinem und würde man erhalten. |
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06.07.2013, 11:37 | Womanpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hm. Also was der Realteil und was der Imaginärteil ist, weiß ich schon auch wenn es gerade vielleicht den Anschein gemacht hat, als wenn ich es nicht so wüsste Es muss doch gelten: dann erhalte ich doch: |
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06.07.2013, 11:42 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
sind Real- und Imaginärteil von und müssen daher reellwertig sein! |
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06.07.2013, 11:52 | Womanpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ja. Jetzt befinde ich mich glaube ich am Tiefpunkt. Ich bin verwirrt . Auf die ursprüngliche frage was und sein soll wüsste ich keine Idee mehr |
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06.07.2013, 11:55 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Du mußt nur ablesen: |
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06.07.2013, 12:02 | Womanpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ok. Ja. Aber besitzt doch eine Stammfunktion. |
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06.07.2013, 12:06 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Nach allem, was ich bislang erlebt habe, glaube ich dir nicht, daß du weißt, was und sind, bevor ich es gesehen habe. |
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06.07.2013, 12:28 | Womanpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ja und anders geht's wohl nicht |
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06.07.2013, 12:42 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Jetzt beachte, daß es hier nicht um reelle Differenzierbarkeit geht (etwa der Funktion , die natürlich als Stammfunktion hätte), sondern um komplexe Differenzierbarkeit. Es müssen also insbesondere die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen gelten. Ist das hier der Fall? |
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06.07.2013, 12:58 | Womanpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Die Cauchy Riemanschen DGLn Wir haben ja: und Man sieht, dass diese nicht erfüllt sind. |
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06.07.2013, 13:07 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Halten wir also fest: ist nicht komplex differenzierbar. Da das Definitionsgebiet ganz ist, kann man weiter sagen: ist nicht holomorph. Jetzt greife meinen Vorschlag von vorhin auf und zeige, daß sich das nicht vertrüge mit der Tatsache, daß eine Stammfunktion besäße. (Das ist ein bedeutender Unterschied zum Reellen. Dort gibt es nicht differenzierbare Funktionen, die Stammfunktionen besitzen. Ein einfaches Beispiel ist , welches bei nicht differenzierbar ist. Dennoch ist eine Stammfunktion von .) |
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06.07.2013, 13:31 | Womanpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich finde den Übergang nicht. Wir haben ja jetzt gezeigt, dass die Funktion nicht komplex differenzierbar ist. Wir sollen aber ja zeigen, dass die Funktion keine Stammfunktion hat. D.h. wir müssten doch komplexe Integrierbarkeit widerlegen? Ich komme gerade nicht wie man das anhand der komplexen Differenzierbarkeit zeigen soll Also ich finde die Überleitung gerade nicht bezüglich Stammfunktion<->komplexe Differenzierbarkeit
Ich weiß zwar was gemeint ist, aber ich kann nicht nachvollziehen wieso es so ist. |
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06.07.2013, 13:39 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ein indirekter Beweis geht so, daß man eine Annahme zu einem Widerspruch führt. Dann ist das Gegenteil der Annahme wahr. Wir wollen zeigen, daß keine Stammfunktion besitzt. Wir machen daher die ist also differenzierbar mit . Jetzt erzeuge daraus durch nochmaliges Differenzieren den gewünschten Widerspruch. Ich will noch einmal darauf hinweisen, daß dieses Vorgehen nur gestattet ist, wenn dir bekannt ist und du verwenden darfst, daß eine holomorphe Funktion automatisch unendlich oft (insbesondere also zweimal) differenzierbar ist. |
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06.07.2013, 14:10 | Womanpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ja das muss es wohl.
Aber dazu müssen wir doch die Stammfunktion kennen? Also ? Wir nehmen dann ja an, dass eine Stammfunktion besitzt, obwohl wir's ja gar nicht wissen. Ist das nicht schräg? Würden wir dann nicht aus der Behauptung heraus beweisen? Bzw. Etwas was nicht existiert (also unsere Stammfunktion ) annehmen, dass sie existiert. |
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06.07.2013, 14:35 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Was ist daran schräg? Wenn eine Behauptung falsch ist, muß das Gegenteil wahr sein. Jetzt gehe einfach davon aus, es gäbe (Konjunktiv!) ein komplex differenzierbares und damit holomorphes mit . Jetzt differenziere. Tu's einfach! |
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06.07.2013, 14:46 | Womanpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich weiß gerade nicht wie (habe etwas komplexes noch nie differenziert.) |
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06.07.2013, 14:58 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Wir unterstellen, besäße eine Stammfunktion , d.h. . Da das holomorphe aber beliebig oft differenzierbar ist, existiert auch , es wäre mit anderen Worten holomorph. Das ist es aber nicht, wie wir bereits sahen (Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen waren nicht erfüllt). Unsere Annahme muß daher falsch sein, und das Gegenteil richtig: besitzt keine Stammfunktion. Jetzt probiere auch die Alternative aus und berechne über den positiv orientierten Einheitskreis. (Wenn ich es richtig in mein CAS eingegeben habe, ergibt sich als Wert, bei Existenz einer Stammfunktion hätte sich ergeben müssen.) |
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06.07.2013, 15:57 | Womanpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich glaube ich habe es jetzt halbwegs nachvollzogen, was diesen Teil angeht.
Da happert's jetzt wieder. Ohje tut mir leid |
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06.07.2013, 16:18 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Das erste Integral verschwindet nach dem Cauchyschen Integralsatz. Jetzt nur noch für substituieren: . Und die Rechnung zu Ende führen ... |
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06.07.2013, 17:14 | Womanpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Der erste Schritt ist mir unklar. Ist das so definiert, oder wocher kommt's, dass die Gleichheit gilt?
Ich tu mir gleich was an ... Wir haben ja die Grenze Was soll das für ein Intervall sein? Und wie ändere ich dann die Grenze? |
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06.07.2013, 17:28 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Das widerspricht dem, was ich dir vorgerechnet habe.
steht symbolisch für den positiv orientierten Einheitskreis. Diese etwas oberfläche Schreibweise ist in diesem Zusammenhang üblich. Es handelt sich also hier um ein Kurvenintegral. Bei der Berechnung substituiere mit . Da siehst du auch zugleich das Integrationsintervall. Diese Parametrisierung des Einheitskreises sollte dir geläufig sein. Im übrigen habe ich einen Großteil der Rechnung in meinem vorigen Beitrag schon vorweggenommen.
Aber erst, wenn du die Aufgabe zu Ende gerechnet hast ... |
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06.07.2013, 17:57 | Womanpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ja allerdings, die ganze Arbeit wird eigentlich von dir geleistet
Das hängt ganz von meiner "grandiosen" Tagesform ab. Heute wieder "1+" |
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06.07.2013, 18:07 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Mache dir noch einmal klar, warum diese Rechnung die Aufgabe a) löst. Es gilt: Wenn eine Funktion eine Stammfunktion besitzt, dann ist das Kurvenintegral wegunabhängig, d.h. Null für jede geschlossene Kurve im Definitionsgebiet der Funktion. Wir haben nun eine geschlossene Kurve, nämlich den Einheitskreis, gefunden, für den das Kurvenintegral nicht Null ist. Also kann die Funktion keine Stammfunktion besitzen.
Das sollte man sich merken. Diese Regel kann man oft verwenden. Wie lautet die entsprechende Regel für den Realteil? |
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06.07.2013, 18:26 | Womanpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich bemühe mich.. Aber naja hm.
Bis auf: ist mir das auch bekannt. Aber wie das für den Realteil lauten soll |
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06.07.2013, 18:33 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Du hast zwei Gleichungen, eine für und eine für , beide in den Variablen . Löse die Gleichungen wie bei einem linearen Gleichungssystem nach auf (Gaußscher Algorithmus). |
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06.07.2013, 18:54 | Womanpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hm. So stimmt es. Ich kann nur noch nicht den Nutzen daraus ziehen. |
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06.07.2013, 19:12 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Da gibt's im Moment auch keinen. Aber wer weiß, was später mal so alles auf dich zukommt ... Den Nutzen der andern Formel hast du ja bei der Integralberechnung gesehen. |
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06.07.2013, 19:16 | Womanpower | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ja stimmt, da konnte man es dann sehr gut einfügen. Das Mathewissen - Man lernt nie aus. Jetzt müsste ich das noch irgendwie zusammenfassen. Ich würde aber gerne die Integrale berechnen. Eigentlich habe ich das ja schon gemacht, aber was hat mir da gefehlt? |
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06.07.2013, 23:51 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Vielleicht tut ihr euch einmal zusammen? |
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