Nicht freier Modul

04.07.2013, 22:23	BieneMaja	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht freier Modul Hallo zusammen Ich möchte zeigen, dass $\begin{eqnarray} (3)+(X) \end{eqnarray}$ aufgefasst als $\begin{eqnarray} \mathbb Z[X] \end{eqnarray}$ Modul nicht frei ist, d.h. keine Basis besitzt. Mein Ansatz ist der folgende: Angenommen es existiert Basis $\begin{eqnarray} B=\left\{ m_{1},..., m_{n}\right\} \end{eqnarray}$ . Dann wäre sowohl $\begin{eqnarray} 3 \end{eqnarray}$ als auch $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ein Element der Basis (Stimmt das? Hätte auch eine genauere Begründung dazu). Dann kann ich aber eine nichttriviale Nullsumme $\begin{eqnarray} 0=-3\cdot T+T\cdot 3 \end{eqnarray}$ aufstellen, also ist $\begin{eqnarray} B=\left\{ 3,T,m_{2} ,..., m_{n}\right\} \end{eqnarray}$ nicht linear unabhängig, kann also auch keine Basis sein. Ist das alles korrekt? Vielen Dank schonmal für eure Hilfe Gruß Biene
05.07.2013, 06:58	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf die Begründung, dass 3 oder X in einer Basis enthalten wäre, bin ich gespannt. Das stimmt nämlich nicht so wirklich. () Was jedoch stimmt: Zwei Polynome (egal welche) erfüllen immer trivialerweise eine $\begin{eqnarray} \mathbb Z[X] \end{eqnarray}$ -Relation (die, die du genannt hast). Dies zeigt, dass die freien Untermoduln gerade die Hauptideale sind. Du musst also zeigen, dass das Ideal nicht von einem Element erzeugt werden kann (Vielleicht ist es ja genau das, was du mit deiner genauren Begründung meintest). (d.h. aber nicht, dass jedes Erzeugendensystem die 3 und X enthält). (): A posteriori stimmt natürlich die Implikation: B Basis ==> B enthält 3 und X. Aus dem einfach Grund, dass ja gar keine Basis existiert. Aber a priori kann man diese Folgerung nicht treffen, denn z.b. wird das Ideal ja auch von $\begin{eqnarray} X+9 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 6 \end{eqnarray}$ erzeugt, d.h. man muss auch ausschließen, dass diese eine Basis bilden. In einem Rutsch macht man das halt mit obigem Argument.
05.07.2013, 17:26	BieneMaja	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke tmo für deine Antwort Ok deinen Vorschlag (Zeigen, dass es nicht von einem Element erzeugt werden kann, leuchtet mir ein und damit kann ich auch die ganze Behauptung zeigen) Zu meiner Idee, dass $\begin{eqnarray} 3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ Basiselemente sein müssen: Betrachte $\begin{eqnarray} 3\in(3)+(X) \end{eqnarray}$ . Angenommen $\begin{eqnarray} 3\notin B \end{eqnarray}$ , dann existieren $\begin{eqnarray} 3\neq m_{i} \in B \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 3=\sum\limits_{k=1}^n r_{k} m_{k} \end{eqnarray}$ Ohne Einschränkung kann 3 als Linearkombination von zwei Basiselementen dargestellt werden, d.h. $\begin{eqnarray} 3= r_{1} m_{1}+r_{2} m_{2} \end{eqnarray}$ Dann wären $\begin{eqnarray} m_{1}, m_{2} \end{eqnarray}$ nicht linear unabhängig: $\begin{eqnarray} 0=m_{2}m_{1}- m_{1}m_{2} \end{eqnarray}$ Die gleiche Argumentation kann ich für X hernehmen. Wäres diese Begründung nun korrekt und hinreichend? Viele Grüße Biene
06.07.2013, 09:14	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja die Begründung stimmt, aber es ist salopp gesagt völlig sinnlos, das zu tun. Das Argument, dass du da als letztes bringst, ist einfach dazu da, zu zeigen, dass es keine Basis aus mehr als einem Element geben kann. Völlig unabhängig davon ob 3 und X jetzt in der Basis drin sind oder nicht.

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