Beweis Poisson'sche Summenformel

05.07.2013, 03:04	Skolja	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Poisson'sche Summenformel so ich hab zu der Aufgabe mich schon ein bisschen bei Google schlaugemacht aber da immer nur Beispiel von 1-periodsichen Funktionen gefunden... Meine Funktion ist aber 2pi-periodisch wenn ich micht nicht irre: $\begin{eqnarray} f(x+2 \pi) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \varphi(x+2 \pi n+ 2\pi) = \sum_{-\infty}^{\infty} \varphi(x+2\pi \tilde{n} ) = f(x) \end{eqnarray}$ So jetzt stelle ich f(t) durch ihre Fourier-Reihe dar: $\begin{eqnarray} f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i n \omega x} \end{eqnarray}$ So berechnen von $\begin{eqnarray} c_n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c_n = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1}{2 \pi } \int_{-\pi}^{\pi}f(x) e^{-i n x } dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1}{2 \pi } \int_{-\pi}^{\pi} \varphi (x+2\pi n )e^{-i n x } dx \end{eqnarray}$ So und jetzt bin ich mir nicht ganz sicher wie das mit der Verschiebung funktioniert... Ich glaub da kommt raus: $\begin{eqnarray} c_n = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1}{2 \pi } \int_{\pi}^{-\pi} \varphi (x+2 \pi n )e^{-i n x } dx=\int_{-\infty}^{\infty} \varphi(x ) e^{-i n x} dx = \hat{\varphi}( n) \end{eqnarray}$ nur weiß ich nicht so ganz wie man zum einen von $\begin{eqnarray} \varphi (t+2\pi n ) \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \varphi (2\pi n ) \end{eqnarray}$ kommt und zum anderen aus der Summe und dem Integral auf dem Intervall ein Integral über den ganzen Raum wird so auf jedenfall kriege ich dann für die Fouriereihe: $\begin{eqnarray} f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \hat{\varphi}(n ) e^{i n x} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \varphi(x+2\pi n) \end{eqnarray}$ Wenn ich x = 0 setze kriege ich: $\begin{eqnarray} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \varphi(2 \pi n) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{\varphi}( n) \end{eqnarray}$ Das wäre schon mal sehr schön Stimmt das denn so auch? Wenn mir jetzt nur jemand erklären könnte wie ich ich diesen Schritt hier richtig vollziehe bzw. ob das überhaupt so richtig ist würde, wäre ganz toll $\begin{eqnarray} c_n = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1}{2 \pi } \int_{\pi}^{-\pi} \varphi (t )e^{-i n x } dx=\int_{-\infty}^{\infty} \varphi(x ) e^{-i n x} dx = \hat{\varphi}( n) \end{eqnarray}$

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