Lösung algebraischer Gleichung

27.02.2007, 13:37

CleanDevil

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Lösung algebraischer Gleichung

Hallo,

bin grade Mathe am lernen und komme bei einer Aufgabe der komplexen Zahlen aboslut nicht weiter.
Die aufgabe lautet:

Man bestimme für Z alle lösungen zk $\begin{eqnarray*} \in C \end{eqnarray*}$

z^6 -64=0

Also ich weiß, dass die Aufgabe 6 Lösungen haben muss.
Erste Lösung wäre
$\begin{eqnarray*} \sqrt[6]{64}=\sqrt[6]{64}*e^0 \end{eqnarray*}$
zweite Lsg:
$\begin{eqnarray*} \sqrt[6]{64}=\sqrt[6]{64}*e^\frac{i*2*pi}{6} \end{eqnarray*}$
dritte Lsg:
$\begin{eqnarray*} \sqrt[6]{64}=\sqrt[6]{64}*e^\frac{i*4*pi}{6} \end{eqnarray*}$

usw...

Soweit so gut! Ist der Lösungsansatz soweit richtig ?

27.02.2007, 13:50

klarsoweit

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RE: Lösung algebraischer Gleichung
Ja. Freude

Freude

EDIT:

Zitat:

Original von CleanDevil
zweite Lsg:
$\begin{eqnarray*} \sqrt[6]{64}=\sqrt[6]{64}*e^\frac{i*2*pi}{6} \end{eqnarray*}$

Es sollte aber besser heißen:
$\begin{eqnarray*} z_1 = \sqrt[6]{64}*e^\frac{i*2*pi}{6} \end{eqnarray*}$

27.02.2007, 13:51

Leopold

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Ist dir klar, daß du das Symbol $\begin{eqnarray*} \sqrt[6]{64} \end{eqnarray*}$ in deinen Gleichungen in zweierlei Bedeutung verwendest? Auf der rechten Seite würde ich dafür einfach 2 schreiben. Und links? Hm ...

Ansonsten stimmt das. Du könntest die Lösungen aber noch in kartesischen Koordinaten angeben.

27.02.2007, 14:39

CleanDevil

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Nee, das war mir bis jetzt nicht klar.
Hatte mich aber schon etwas gewundert und gedacht, dass da etwas nicht stimmt.
Öhm, wie kann ich das denn in kartesischen Koordinaten angeben ?

27.02.2007, 14:44

klarsoweit

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$\begin{eqnarray*} e^{i \cdot \phi} = cos(\phi) + i \cdot sin(\phi) \end{eqnarray*}$

27.02.2007, 14:49

CleanDevil

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Dankeschön für die schnellen und hilfreichen Antworten!
Wie muss ich eigentlich jetzt vorgehen, wenn ich zk $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ C in der komplexen Ebene zeichnen möchte ? verwirrt

verwirrt

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27.02.2007, 14:51

klarsoweit

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RE: Lösung algebraischer Gleichung

Zitat:

Original von klarsoweit
Es sollte aber besser heißen:
$\begin{eqnarray*} z_1 = \sqrt[6]{64}*e^\frac{i*2*pi}{6} \end{eqnarray*}$

Indem du beispielsweise das mit der eben geposteten Formel ausrechnest.

27.02.2007, 15:03

CleanDevil

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joa .. aber wie setze ich das denn jetzt ein ?

27.02.2007, 15:05

klarsoweit

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RE: Lösung algebraischer Gleichung
Meine Güte. Was wird denn in $\begin{eqnarray*} e^\frac{i*2*pi}{6} \end{eqnarray*}$ das phi sein?

27.02.2007, 15:08

CleanDevil

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Genau das ist meine Frage.
Das i vielleicht? Wink

Wink

27.02.2007, 15:23

klarsoweit

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Heidinei. ist das Anwenden mathematischer Formeln wirklich so schwer?

Wir hatten:
$\begin{eqnarray*} e^{i \cdot \phi} = cos(\phi) + i \cdot sin(\phi) \end{eqnarray*}$

Jetzt vergleichen wir das mal mit $\begin{eqnarray*} e^{i \cdot \frac{2*pi}{6}} \end{eqnarray*}$

Und jetzt die Quizfrage: was ist phi?

27.02.2007, 16:24

CleanDevil

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Okay, hab eine Pause gemacht und es natürlich jetzt auf den ersten Blick gesehen und die Aufgabe komplett gelöst! Der Graph ist auch schon gezeichnet smile

smile

Danke nochmal!

Nur jetzt stehe ich vor dem nächsten Problem geschockt

geschockt

$\begin{eqnarray*} (2+2 \sqrt{3} *i )z=8e^{i\pi} \end{eqnarray*}$

Nun habe ich ja im Prinzip die kartesische Form gleich der exp. Form !
Wie fange ich denn hier an?

27.02.2007, 17:16

Harry Done

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Hi CleanDevil,
hilft dir das vielleicht schon:

$\begin{eqnarray*} a+i\cdot b=\sqrt{a^2+b^2}\cdot e^{i\cdot arctan(\frac{b}{a})} \end{eqnarray*}$

das ist die Umwandlung von kartesischen Koordinaten in die polare Form.

Gruß Jan

27.02.2007, 17:58

CleanDevil

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Mhm , muss ich beide Seiten getrennt behandeln ?
Dann hätte ich für die rechte Seite:
$\begin{eqnarray*} z1=8*e^{i\pi}=8(cos(\pi)+i*sin(\pi))=-8+ 0*\pi \end{eqnarray*}$
und links käme nach meinen Berechnungen i="eine Dzimalzahl ..."
Aber das geht ja nicht ....

27.02.2007, 18:05

Leopold

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Statt $\begin{eqnarray*} 0 \cdot \pi \end{eqnarray*}$ soll es wohl $\begin{eqnarray*} 0 \cdot \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ heißen. Wie auch immer: $\begin{eqnarray*} 8 \operatorname{e}^{\operatorname{i} \pi} \end{eqnarray*}$ ist nur eine etwas umständliche Schreibweise für $\begin{eqnarray*} -8 \end{eqnarray*}$ . Du hast daher die Gleichung

$\begin{eqnarray*} (2 + 2 \sqrt{3} \, \operatorname{i}) \, z = -8 \end{eqnarray*}$

zu lösen. Und da würde ich erst einmal mit $\begin{eqnarray*} 1 - \sqrt{3} \, \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ durchmultiplizieren. Siehst du, warum?

28.02.2007, 09:04

CleanDevil

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Guten morgen!
Na klar, Du hast recht! Sorry ...
Oh stimmt ! -8, habe ich ja selbst geschrieben.

Also wenn ich das durchmultipliziere habe ich
$\begin{eqnarray*} (4-2\sqrt{3}i-6i^2)z=-8+8\sqrt{3}i \end{eqnarray*}$
Soweit so gut !
Lass mich ein bisschen grübeln, ich melde mich nachher nochmal! smile

smile

Edit:
Fertig gelöst, vielen Dank für Eure Hilfe! Prost

Prost

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