Funktion mit einfachem Pol als logarithmische Ableitung darstellbar

05.07.2013, 18:47	Derivative	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktion mit einfachem Pol als logarithmische Ableitung darstellbar Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} R>0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ eine auf $\begin{eqnarray} U_R(0)\setminus\{0\} \end{eqnarray}$ holomorphe Funktion mit einfacher Polstelle in $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} res_0f=n\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ . Zeige, dass eine auf $\begin{eqnarray} U_R(0) \end{eqnarray}$ holomorphe Funktion $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} h(0)\neq 0 \end{eqnarray}$ existiert, sodass mit $\begin{eqnarray} g(z):=z^nh(z) \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} f=\frac{g'}{g} \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Es ist eigentlich zu zeigen $\begin{eqnarray} f(z)=\frac{n}{z}+\frac{h'(z)}{h(z)} \end{eqnarray}$ mit geeignetem $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ . Wie aber ist dieses zu wählen, sodass man auch eine Information über dessen Ableitung hat? Man könnte $\begin{eqnarray} h(z)=zf(z) \end{eqnarray}$ wählen, aber das scheint nicht zielführend zu sein. Ich hab auch schon versucht, über die Laurentreihe von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ zu argumentieren, aber bin damit auch nicht weitergekommen. Wie lautet der richtige Ansatz?
06.07.2013, 07:28	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Da $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ einen Pol erster Ordnung besitzt, gilt $\begin{eqnarray} f(z) = \frac{n}{z} + l(z) \ \ \text{mit} \ l \ \text{holomorph in} \ U_R(0) \end{eqnarray}$ In der Kreisscheibe $\begin{eqnarray} U_R(0) \end{eqnarray}$ besitzt $\begin{eqnarray} l \end{eqnarray}$ eine Stammfunktion $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ . Wenn du jetzt mit dem, was du schon gefunden hast, vergleichst, läuft es auf $\begin{eqnarray} \frac{h'(z)}{h(z)} = l(z) \end{eqnarray}$ hinaus. Und jetzt steht in der Überschrift der Aufgabe "... als Ableitung darstellbar". Integriere die letzte Gleichung formal und löse nach $\begin{eqnarray} h(z) \end{eqnarray}$ auf. Verifiziere schließlich den auf formalem Weg gefundenen Ansatz.
06.07.2013, 11:28	Derivative	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Hilfe!

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