Existenz einer Linearkombination, die eine Ungleichung erfüllt

06.07.2013, 00:27

Ungewiss

Existenz einer Linearkombination, die eine Ungleichung erfüllt

Hallo,

Ich versuche gerade eine Aufgabe zu lösen und bin der Meinung ein Gegenbeispiel zur Aufgabenstellung gefunden zu haben. Da ich auch schon zur darauffolgenden Aufgabe ein Gegenbeispiel bei stackexchange gefunden habe, wollte ich mal nachfragen, da zwei fehlerhafte Aufgaben direkt hintereinander schon sehr merkwürdig wären.

Sei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ein Banachraum über dem Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S\subseteq X \end{eqnarray*}$ eine beliebige Menge. Zeigen Sie, dass für jedes $\begin{eqnarray*} x\in \operatorname{span}(S) \end{eqnarray*}$ Punkte $\begin{eqnarray*} x_j\in S \end{eqnarray*}$ und Koeffizienten $\begin{eqnarray*} c_j\in\mathbb{K} \end{eqnarray*}$ existieren, so dass

$\begin{eqnarray*} x=\sum\limits_{j=1}^N c_jx_j \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \|\sum\limits_{j=1}^kc_jx_j\|\leq 2 \|x\| \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} 1\leq k\leq N \end{eqnarray*}$ gilt.

Als Gegenbeispiel habe ich $\begin{eqnarray*} X=\mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ mit Maximumsnorm und $\begin{eqnarray*} S=\{ x_1, x_2\} \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} x_1=\begin{pmatrix}10\\ 0\end{pmatrix},\qquad x_2=\begin{pmatrix}-10\\ 1\end{pmatrix},\qquad x=\begin{pmatrix}0\\ 1\end{pmatrix}=x_1+x_2 \end{eqnarray*}$
genommen.

Die Darstellung von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ als Linearkombination ist wegen der linearen Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} x_1, x_2 \end{eqnarray*}$ eindeutig und es gilt weder
$\begin{eqnarray*} \| x_1\|\leq 2\|x\| \end{eqnarray*}$ noch
$\begin{eqnarray*} \| x_2\|\leq 2\|x\| \end{eqnarray*}$ .

Übersehe ich irgendwas oder ist die Aufgabe tatsächlich falsch gestellt? Vielen Dank fürs drüberschauen schonmal.

06.07.2013, 01:52

Guppi12

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Kann es sein, dass der Fehler hier liegt?

Zitat:

Die Darstellung von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ als Linearkombination ist wegen der linearen Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} x_1, x_2 \end{eqnarray*}$ eindeutig

Die Darstellung ist zwar eindeutig, es hindert dich aber niemand daran, diese eindeutige Darstellung so umzuschreiben:

$\begin{eqnarray*} x = \underbrace{\frac{1}{100}x_1+\frac{1}{100}x_2+...+\frac{1}{100}x_1+\frac{1}{100}x_2}_{\text{100 mal}} \end{eqnarray*}$

Ich weiß natürlich nicht, ob das so gemeint ist Augenzwinkern

06.07.2013, 02:33

Ungewiss

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Jap, daran wirds liegen. Dass sich die Elemente wiederholen können, habe ich missachtet.
Vielen Dank smile

Deine Darstellung liefert auch schon einen Hinweis darauf wie man es Allgemein machen kann.

Sei $\begin{eqnarray*} x=\sum\limits_{j=1}^Nc_jx_j \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ so gross, dass
$\begin{eqnarray*} \| M^{-1}\sum\limits_{j=1}^kc_jx_j\|\leq \|x\| \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} 1\leq k\leq N \end{eqnarray*}$ gilt.

Dann erfüllt die Darstellung $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^{NM}\tilde c_{j}\tilde x_j \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \tilde c_{AN+k}= M^{-1}c_k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \tilde x_{AN+k}= x_k \end{eqnarray*}$ die Bedingung.

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