E-Funktion - Integration

06.07.2013, 02:10

Kimyaci

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E-Funktion - Integration

Stammfunktion gesucht:

$\begin{eqnarray*} (a) \ I = \int e^{2x} \ dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (b) \ I = \int e^{3-2x} \ dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a) \ \frac{du}{dx} = 2e^{2x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I = \frac{1}{2} \int u \ du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I = \frac{1}{6} u^2 + C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I = \frac{1}{6} (2e^{2x})^2 + C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I =\frac{1}{2}e^{4x} + C \end{eqnarray*}$

Wenn ich das ableite kommt aber was falsches heraus. Darf ich die zwei nicht in den Exponenten ziehen?

Wieso gilt:

$\begin{eqnarray*} (e^a)^b \neq e^{a \cdot b} \end{eqnarray*}$ ?

06.07.2013, 02:16

Gast11022013

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Am Exponenten verändert sich bei der Integration gar nichts.
Genau wie beim ableiten. (Edit: Von e-Funktionen)

Du wählst hier die Substituion falsch.

Substituiere den Exponenten:

$\begin{eqnarray*} z(x)=2x \end{eqnarray*}$

und bilde davon die Ableitung.

Ich finde außerdem auch, dass eine Substitution hier relativ umständlich ist. Das kann man eigentlich auch ganz einfach direkt integrieren.

06.07.2013, 02:24

Kimyaci

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Stimmt, direkte Integration:

$\begin{eqnarray*} I = \int e^{2x} \ dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I = \frac{1}{2} e^{2x} + C \end{eqnarray*}$

Durch Substitution:

$\begin{eqnarray*} \frac{dz}{dx} = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I = \frac{1}{2} \int e^z \ du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I = \frac{1}{2} e^z + C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I = \frac{1}{2} e^{2x} + C \end{eqnarray*}$

Ach, okay danke! Freude

Freude

06.07.2013, 02:27

Gast11022013

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Jup.

Außer das du im Integranden $\begin{eqnarray*} du \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} dz \end{eqnarray*}$ stehen hast.

06.07.2013, 02:36

Kimyaci

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Stimmt; ich bin an "u" gewöhnt - ist mir gar nicht aufgefallen. Hab hier noch einen Aufgabenteil:

(b) überspringe ich mal, weil es genau dasselbe ist, aber:

$\begin{eqnarray*} (d) \ I = \int x \cdot e^{x^2} \ dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dz}{dx} = 2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I =\frac{1}{2} \int e^{z} \ dz \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I =\frac{1}{2} e^{z} + C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I =\frac{1}{2} e^{x^2} + C \end{eqnarray*}$

Okay das stimmt, weil die Ableitung wieder die Ursprungsfunktion liefert. Dann mach ich mal noch eine:

$\begin{eqnarray*} (h) \ I = \int \frac{dx}{2e^{x}-3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{e^{x}-\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$

Hier kann ich aber nicht so einfach z = x wählen oder? verwirrt

verwirrt

06.07.2013, 02:55

Gast11022013

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Die erste Stimmt.

Bei der zweiten bin ich gerade ein wenig überfragt. verwirrt

verwirrt

Da braucht man glaube ich eine Partialbruchzerlegung.
Substituieren würde ich $\begin{eqnarray*} e^x=z \end{eqnarray*}$

Ob das zum Ziel führt bin ich mir gerade nicht wirklich sicher.
Sorry.

Edit: Doch sollte zum Ziel führen. Ich halte den Weg jedoch für recht aufwendig. Ob es eine einfachere Lösung gibt weiß ich gerade nicht.

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06.07.2013, 05:50

alterHund

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Integranden erweitern mit $\begin{eqnarray*} \frac{e^{-x}}{e^{-x}} \end{eqnarray*}$

06.07.2013, 06:16

Kimyaci

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Um die Uhrzeit kein Wunder. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ne ne; Partialbruchzerlegung hab ich noch nicht drauf; das kommt erst später. Aber nach intensiverem Nachdenken glaube ich einen Lösungsweg gefunden zu haben, wie wäre es mit folgendem:

$\begin{eqnarray*} I = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{e^{x} -\frac{3}{2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z = e^x - \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dz}{dx} = e^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dz}{dx}= z + \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I = \frac{1}{2} \int \frac{dz}{(z + \frac{3}{2}) \cdot z } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I = \frac{1}{2} \int \left( \frac{\frac{2}{3}}{z + \frac{3}{2}} - \frac{\frac{2}{3}}{z}\right) dz \end{eqnarray*}$

Kleine Nebenrechnung wie ich auf den Bruch gekommen bin:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(z + \frac{3}{2}) \cdot z } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{2}{3}}{z} - \frac{\frac{2}{3}}{z + \frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(z + \frac{3}{2}) \cdot \frac{2}{3}}{(z + \frac{3}{2}) \cdot z} - \frac{\frac{2}{3}z}{(z+\frac{3}{2}) \cdot z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(z + \frac{3}{2}) \cdot\frac{2}{3} - \frac{2}{3}z }{(z + \frac{3}{2}) \cdot z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(z + \frac{3}{2}) \cdot z} \end{eqnarray*}$

Nun:

$\begin{eqnarray*} u = z+\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I = \frac{1}{2} \left( \int \frac{\frac{2}{3}}{u} du - \int \frac{\frac{2}{3}}{z} dz \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I = \frac{1}{2} \left( \frac{2}{3} \int \frac{ du }{u}- \frac{2}{3} \int \frac{dz}{z} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I = \frac{1}{3} \ (ln \ u - ln \ z) + C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I = \frac{1}{3} \ (ln \ (z+\frac{3}{2}) - ln \ z) + C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I = \frac{1}{3} \ (ln \ ( e^x) - ln ( e^x - \frac{3}{2})) + C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I = \frac{1}{3} \ (1 - ln ( e^x - \frac{3}{2})) + C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} ln ( e^x - \frac{3}{2})) + C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} ln ( e^x ) - \frac{1}{3} ln (\frac{3}{2})) + C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} - \frac{1}{3} ln (\frac{3}{2})) + C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I = - \frac{ln \ 3}{3} - \frac{ln \ 2}{3} + C \end{eqnarray*}$

Soo, würde mich zwar wundern, wenn das stimmt, aber ich geh jetzt schlafen.

06.07.2013, 08:06

alterHund

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$\begin{eqnarray*} \ln (e^x) = x \end{eqnarray*}$ nicht die Konstante 1

07.07.2013, 01:04

Kimyaci

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Ja ich konnte gestern meine Augen nicht mal offen halten, bis ich diesen Bruch zerlegen konnte habe ich verdammt lange gebraucht. Hab es ausversehen mit (ln (e^x))' verwechselt.

Aber stimmt es denn jetzt:

$\begin{eqnarray*} I = \frac{1}{3} - \frac{x}{3} - \frac{ln \ 3}{3} - \frac{ln \ 2}{3} + C \end{eqnarray*}$

07.07.2013, 07:16

alterHund

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wenn Du mal "Muße" hast wirst Du es alleine finden, überprüfen lassen kannst Du vieles bei http://www.wolframalpha.com;
hier noch der einfachere Weg
$\begin{eqnarray*} \int \!\frac{\dd x}{2 e^x-3} \,= \int \!\frac{e^{-x}\dd x}{2 - 3 e^{-x}} \,\\= \frac{1}{3}\int \!\frac{3 e^{-x}\dd x}{2 - 3 e^{-x}}\\=\frac{1}{3}\int \!\frac{(2-3 e^{-x})'\dd x}{2 - 3 e^{-x}}\\ = \frac{1}{3} \ln \left| 2-3 e^{-x} \right| + C \end{eqnarray*}$

07.07.2013, 11:30

Kimyaci

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Na ja es geht ja auch um die Zwischenschritte, man kann ja auch per Zufall an das richtige Ergebnis kommen. Und gerade bei so einem schwierigeren Integral macht man ja viele Fehler.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}\int \!\frac{3 e^{-x}\dd x}{2 - 3 e^{-x}}\\=\frac{1}{3}\int \!\frac{(2-3 e^{-x})'\dd x}{2 - 3 e^{-x}}\\ = \frac{1}{3} \ln \left| 2-3 e^{-x} \right| + C \end{eqnarray*}$

Dass man das mit der Ableitung so machen kann war mir gar nicht bewusst. Aber wie wird im letzten Schritt aus dem Ganzen dann nur ein "ln (x)"?

07.07.2013, 11:54

alterHund

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es gilt allgemein
$\begin{eqnarray*} \int \frac{f'(x)}{f(x)} \dd x= \ln | f(x) | \end{eqnarray*}$

07.07.2013, 16:19

Kimyaci

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Ich hab mal versucht Ihre "Methode" auf die nächste Aufgabe anzuwenden:

$\begin{eqnarray*} I = \int \frac{e^x \ dx}{3e^x+5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I = \frac{1}{3} \int \frac{(e^x+\frac{5}{3})' \ dx}{e^x+\frac{5}{3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I = \frac{1}{3} ln (e^x+\frac{5}{3}) + C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I = \frac{1}{3} ln \ e^x+ \frac{1}{3} ln \frac{5}{3} + C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I = \frac{1}{3} x+ \frac{1}{3} ln \ \left( \frac{5}{3} \right) + C \end{eqnarray*}$

So okay oder kann man da noch was vereinfachen?

07.07.2013, 16:23

alterHund

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ln(a + b) ungleich lna + lnb, das läßt sich nicht vereinfachen, sonst ok

08.07.2013, 00:52

Kimyaci

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Alles klar!

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