Kartenwechsel glatt impliziert Inverse glatt? |
| 06.07.2013, 12:36 | 12345678 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Kartenwechsel glatt impliziert Inverse glatt? Hallo! Ich habe einen glatten Kartenwechsel gegeben und will wissen, ob dann die Inverse wieder glatt ist. Meine Ideen: Ich muss ja prüfen, ob alle partiellen Ableitungen aller Ordnungen existieren und stetig sind. Dass die alle stetig sind, wenn sie differenzierbar sind ist trivial oder? Als könnte ich bei der Definition für "glatt" die Stetigkeit doch auch weglassen oder, sie folgt ja sofort? Wie ich dass jetzt zeige -falls es überhaupt stimmt- weiß ich nicht. Würde auf Kettenregel oder ähnliches tippen. |
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| 06.07.2013, 12:52 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Kartenwechsel glatt impliziert Inverse glatt? Was weißt du denn über den Kartenwechsel? Nur dass er bijektiv und glatt ist? Dann betrachte mal . |
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| 06.07.2013, 13:22 | 12345678 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich weiß auch noch, dass es ein Homöomorphismus ist, dass also zusätzlich zu bijektiv und glatt die Umkehrabbildung stetig ist. Allerdings versteh ich dein Beispiel nicht ganz, was soll ich jetzt bemerken? Die Umkehrabbildung ist ja und somit doch auch wieder glatt oder? |
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| 06.07.2013, 13:23 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, die dritte Wurzel ist nicht glatt. Was wäre denn deren Ableitung in der Null? |
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| 06.07.2013, 13:34 | 12345678 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
stimmt. also in der 0 nicht definiert. Dann brauch eich vermutlich noch mehr, als dass es ein Homöomorphismus ist, weil stetig ist die 3. Wurzel ja? |
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| 06.07.2013, 13:37 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, man fordert in der Definition eines Diffeomorphismus nicht umsonst extra noch, dass auch die Umkehrfunktion glatt ist. |
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| 06.07.2013, 13:41 | 12345678 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ah ok, das bedeutet es gibt Beispiele für Kartenwechsel, die glatt sind, aber deren Umkehrung es nicht ist? |
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| 06.07.2013, 13:43 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, z.B. ... |
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| 06.07.2013, 13:47 | 12345678 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mir ist nicht ganz klar wieso das ein Kartenwechsel ist. Bezüglich welchen Kartengebieten? Und welcher Fläche? |
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| 06.07.2013, 13:50 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mit einer Fläche hat das natürlich nichts zu tun. Wir können aber als eindimensionale Mannigfaltigkeit auffassen. Eine mögliche Karte ist die Identität; eine andere . Damit ist letzteres auch ein Kartenwechsel, der aber kein Diffeomorphismus ist. |
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| 06.07.2013, 14:01 | 12345678 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ach so, ich habe nicht an Kartenwechsel "ohne Fläche" geadacht, glaube ich habe die Frage ungeschickt formuliert. Also nochmal exakter: Unsere Definition ist: Sei X eine Fläche. Eine Karte ist ein Paar wobei U offene Teilmenge von X ist und ein Homöomorphismus in eine offene Teilmenge des ist. In diesem Fall ist ja jeder Kartenwechsel ein Homöomorphismus(also insbesondere die Umkehrung jedes Kartenwechsels), wie du mir mal erklärt hast, wenn ich mich richtig erinnere. Wenn ich jetzt aber noch nicht weiß, ob es sich wirklich um Karten handelt, und ich per Hand nachrechne, ob jeder Kartenwechsel ein Homöomorphismus ist, weiß ich dann schon, sobald es für einen klappt, dass es dann auch für seine Umkehrung klappt, oder gibt's auch hier ein Gegenbeispiel? |
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| 06.07.2013, 14:06 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Na dann nehmen wir mal die Fläche . Als eine Karte die Identität und dann . |
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| 06.07.2013, 14:07 | 12345678 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wobei mir meine Frage gerade zunehmend sinnlos vorkommt: Wenn es sich um Karten handelt, dann sind eh alle Kartenwechsel Homöomorphismen. Wenn es sich nicht um Karten handelt, dann gibts auch keine Kartenwechsel die ich untersuchen kann. Oder übersehe ich da was? |
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| 06.07.2013, 14:07 | 12345678 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ah, sorry, hab deine ANtwot gerade erst gesehen |
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| 06.07.2013, 14:13 | 12345678 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hm, dieses Beispiel leuchtet mir ein, da bekomme ich für die erste Komponente das gleiche Problem wie beim eindimensionalen Beispiel. Ach so und die Kartenwechsel sind dann zwar immer noch Homöomorphismen, aber eben nicht glatt (zumindest der eine)? Danke! |
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| 06.07.2013, 16:00 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, genau. |
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| 07.07.2013, 07:50 | 12345678 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
danke! |
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