Frage zur Formel von Bayes

06.07.2013, 16:30

DaCaeser

Frage zur Formel von Bayes

Meine Frage:
Ich bin gerade dabei meine Stochastik I prüfung vorzubereiten. Die Vorlesung habei ich 2011 besucht und grüble gerade über eine Aufgabe.

Über einen verrauschten Kanal werden binäre Ziffern versendet. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine 0 oder 1 übertragen werden soll, ist jeweils 0.5. Die Wahrscheinlichkeit, dass die empfangene Ziffer der versendeten entspricht, ist 0.9.

a) Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine 1 versendet wurde, wenn eine 1 empfangen wurde?

b) Es wird nun zur Sicherheit die zu übertragende Ziffer jeweils dreimal verschickt (d.h. 111 oder 000). Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine 1 übertragen werden sollte, wenn 111 empfangen wurde? Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass 1 übertragen werden sollte, wenn bekannt ist, dass die Summe der drei empfangenen Ziffern gleich 2 ist.

Meine Ideen:
Wir fassen noch einmal die gegebenen Informationen zusammen. Es sei B_1 das Ereignis, dass eine 1 gesendet wurde. Entsprechend sei B_2?B_1^C das Ereignis das eine 0 gesendet wurde. Sei A das Ereignis, das eine 1 empfangen wurde. Wir wissen P(B_1 )=0,5, P(B_2 )=0,5 und P(A?B_1 )=0,9 sowie P(A?B_2 )=0,1. Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit von P(B_1?A), also

$\begin{eqnarray*} <br /> P(B_1|A)=\frac{P(A|B_1)\cdot P(B_1)}{P(A|B_1)\cdot P(B_1)+P(A|B_2)\cdot P(B_2)}=\frac{0,9\cdot0,5}{0,0\cdot0,5+0,1\cdot0,5}=0,9<br /> \end{eqnarray*}$

Es seien B_1 und B_2 wie in a). Es sei A das Ereignis, dass 111 empfangen wurde. Wir überlegen die Wahrscheinlichkeit von P(A?B_1 ). Wenn eine 1 gesendet wurde wird die dreimal gemacht, damit müsste dreimal eine eins empfangen werden, dies ist jedes mal mit einer Wahrscheinlichkeit 0,9 der Fall, also P(A?B_1 )=0,9?0,9?0,9=0,729. Letztlich ergibt sich damit P(A?B_2 )=0,271. Wir nutzen wieder die Formel von Bayes und erhalten

so erhalte ich mit gleicher Formel 0,729 und für den zweiten Teil 0,243.

06.07.2013, 16:56

Math1986

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RE: Frage zur Formel von Bayes
Das Erste ist richtig (mit 0,0 ist wohl 0,9 gemeint. Das Zweite ist auf den ersten Blick schon falsch, das Ergebnis muss ja größer als im Ersten Fall sein.

Rechne P(A I B_2) nach, da ist der Denkfehler.

06.07.2013, 18:20

DaCaeser

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Ah okay, also ist mein Gedankengang zu er Aufgabe soweit schon einmal richtig =)

Fange ich den zweiten Teil noch einmal in ruhe an. Sei $\begin{eqnarray*} B_1 \end{eqnarray*}$ das Ereignis, dass eine 1 gesendet werden soll und entsprechen $\begin{eqnarray*} B_2:=B_1^c \end{eqnarray*}$ , das Ereignis, dass eine 0 gesendet werden soll. Der Aufgabenstellung entnehmen wir $\begin{eqnarray*} P(B_1)=P(B_2)=0,5 \end{eqnarray*}$ .

Es bezeichne $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ das Ereignis, dass eine $\begin{eqnarray*} 111 \end{eqnarray*}$ empfangen wird. Wir suchen jetzt $\begin{eqnarray*} P(A|B_1) \end{eqnarray*}$ , diese beträgt $\begin{eqnarray*} 0,729 \end{eqnarray*}$ , da es nur eine Mögliche Kombination gibt nämlich 111 wobei die Wahrscheinlichkeit das eine 1 ankommt $\begin{eqnarray*} 0,9 \end{eqnarray*}$ beträgt also

$\begin{eqnarray*} P(A|B_1)=0,9\cdot0,9\cdot0,9=0,729 \end{eqnarray*}$

Nun brauche ich aber noch die Wahrscheinlich von $\begin{eqnarray*} P(A|B_2) \end{eqnarray*}$ . Hierfür gilt, das eigentlich eine 000 empfangen werden soll, aber eine 111 ankommt, also

$\begin{eqnarray*} P(A|B_2)=0,1^3=0,001 \end{eqnarray*}$

Damit kann ich dann in die Formel von Bayes gehen und erhalte

$\begin{eqnarray*} P(B_1|A)=\frac{0,729\cdot0,5}{0,729\cdot0,5+0,001\cdot0,5}\approx0,9986. \end{eqnarray*}$

-----
Nachtrag: Für den zweiten Teil von (b) habe ich $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ mit dem Ereignis das die Summe der empfangen Ziffern 2 beträgt. Wir haben diesmal 3 mögliche Permutationen von 011 und damit

$\begin{eqnarray*} P(C|B_1)=0,243\qquad P(C|B_2)=0,027. \end{eqnarray*}$

und damit

$\begin{eqnarray*} P(B_1|C)=\frac{0,243\cdot0,5}{0,243\cdot0,5+0,027\cdot0,5}=0,9. \end{eqnarray*}$

06.07.2013, 19:56

Math1986

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Das zweite stimmt. Dass bei dreimaligem Übertragen die Sicherheit größer wird war ja auch irgendwie zu erwarten, oder? Augenzwinkern

Das dritte stimmt auch Augenzwinkern

06.07.2013, 22:51

DaCaeser

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Naja mich hatte das Ergebnis eher überrascht, da ich intuitiv davon ausgegangen war, dass bei mehrfacher Übertragung die Störanfälligkeit zunimmt. ^^

Aber danke auf jedenfall für den Hinweis wo mein Denkfehler lag.

07.07.2013, 16:34

Math1986

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Zitat:

Original von DaCaeser
Naja mich hatte das Ergebnis eher überrascht, da ich intuitiv davon ausgegangen war, dass bei mehrfacher Übertragung die Störanfälligkeit zunimmt. ^^

Es wird ja mehrfach das selbe Zeichen übertragen. Die Wahrscheinlichkeit, dass das selbe Zeichen dreimal hiontereinander gestört wird, ist geringer als dass es nur einmal gestört wird.

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