Existenz der Stammfunktion von einer komplexen Funktion

06.07.2013, 18:03	McClane	Auf diesen Beitrag antworten »
Existenz der Stammfunktion von einer komplexen Funktion Hallo, ich habe folgende komplexe Funktion: $\begin{eqnarray} f(z)=\frac{1}{(z-k)^3}dz \end{eqnarray}$ Eine Stammfunktion wäre: $\begin{eqnarray} F(z)=\frac{-1}{2(z-k)^2}dz \end{eqnarray}$ Wie kann ich die Existenz der Stammfunktion beweisen? Sonst bin ich hingegangen, und habe meine Stammfunktion in Real- und Imaginärteil zerlegt. Mittels Cauchy-Riemannschen Differentialgleichung konnte ich dann die Existenz der Stammfunktion zeigen. (Holomorphe Funktion F ist Stammfunktion, wenn F'=f) Das ist hierbei jedoch sehr sehr umständlich. Gibt es andere Möglichkeiten, die Existenz zu zeigen?
06.07.2013, 18:10	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Für rationale Funktionen gelten dieselben Regeln wie im Reellen. Du bestätigst also die Stammfunktion durch Differenzieren.
06.07.2013, 18:19	McClane	Auf diesen Beitrag antworten »
Reicht dann $\begin{eqnarray} F(z)=\frac{-1}{2(z-k)^3} \end{eqnarray}$ ist Stammfunktion, da $\begin{eqnarray} F'(z)=\frac{1}{(z-k)^3}=f(z) \end{eqnarray}$ als Formulierung? Ich dachte man müsste im komplexen erst zeigen, dass F(z) holomorph ist
06.07.2013, 18:25	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das reicht. Denn aus der Definition der komplexen Differenzierbarkeit folgen die üblichen Regeln: Summenregel, Faktorregel, Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel. Und für die Potenzen $\begin{eqnarray} z^n \end{eqnarray}$ leitet man die Ableitungsregel ganz wie im Reellen her (Faktorisierung und Polynomdivision oder binomischer Lehrsatz). Auch die Klassiker $\begin{eqnarray} \sin z, \cos z, \operatorname{e}^z, \sinh z, \cosh z \end{eqnarray}$ besitzen dieselben Ableitungsregeln. Nur der komplexe Logarithmus ist ein Sonderfall. Da du mit diesen Ableitungsregeln $\begin{eqnarray} F'(z) = f(z) \end{eqnarray}$ nachweisen konntest, ist alles erledigt.
07.07.2013, 10:05	McClane	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, vielen Dank!
07.07.2013, 10:49	Womanpower	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} i) \int_{\gamma_k} ze^{iz^2}dz \end{eqnarray}$ geht dann analog? Also: $\begin{eqnarray} \int ze^{iz^2}=-\frac{1}{2}i e^{iz^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F(z)=-\frac{1}{2}i e^{iz^2} \end{eqnarray}$ ist Stammfunktion, da $\begin{eqnarray} F'(z)=ze^{iz^2}=f(z) \end{eqnarray}$
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07.07.2013, 11:12	McClane	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau. Mit $\begin{eqnarray} F(\gamma (a))-F(\gamma (b)) \end{eqnarray}$ folgt dann das Ergebnis des Integrals
07.07.2013, 11:16	Pauline21	Auf diesen Beitrag antworten »
Muss man das noch ausrechnen? Oder reicht diese Angabe?
07.07.2013, 11:22	McClane	Auf diesen Beitrag antworten »
Ausrechnen

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