Parameterintegrale

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jgdjs Auf diesen Beitrag antworten »
Parameterintegrale
Hallo,

ich soll folgende Aufgabe lösen.

Berechne für den Wert des uneigentlichen Integrals

Ich weiß nicht, ob sie direkt was mit Parameterintegralen zu tun hat, steht aber im Titel der Aufgabe.

Habe schon mehrere Dinge probiert. Als erstes habe ich das integral immer umgeschrieben zu:




und den Bruch kann man ja auch noch auseinanderziehen, aber dann komme ich nicht mehr wirklich weiter(habe schon partielle Integration probiert und diverse Substitutionen).

und dass ich hier bzw als zwei Funktionen in abhängigkeit von t, also zum Beispiel ansehe, bringt mcih irgendwie auch nicht weiter.

kann mir da vielleicht Jemand einen Tipp geben?

Viele Grüße,

jgdjs
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Definiere mit einem Parameter die Funktion



Zeige durch Differenzieren nach unterm Integralzeichen:



und bestimme hieraus und aus die Funktion .
jgdjs Auf diesen Beitrag antworten »

hallo leopold,

es hapert schon gleich am Anfang.

Zitat:
Definiere mit einem Parameter die Funktion

.

Ich berechne also:



(Da die Grenzen hier ja konstant sind, müsste diese Ableitung doch eingentlich pasen)



davon das integral:

Ich weiß, eigentlich müsste es mit limes geschrieben werden, aber das hab ich in Latex gerade nicht hinbekommen.


und dieses Integral hat bie mir den Wert unendlich?!
jgdjs Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:




davon das integral:




und dieses Integral hat bie mir den Wert unendlich?!



Diese Zeile ist natürlich völliger Murks. Es sollte heißen:

Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

das bleibt Murks. Es liegt keine Potenz, sodern eine Exponentialfunktion vor.
jgdjs Auf diesen Beitrag antworten »

ja, passiert, wenn man nach a und nciht nach t integriert. Big Laugh Wenn ich nach t integriere komme ich auch auf das richtige.


Wieso darf ich jetzt aber einfach F(b)=0 setzen?
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jgdjs
Wieso darf ich jetzt aber einfach F(b)=0 setzen?


Weil das nach Definition der Funktionswert von an der Stelle ist:
Zitat:
Original von Leopold
jgdjs Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Leopold,

Danke für deine Antwort. Ich habe jetzt mal weitergemacht. Ich habe also die Ableitung an der Stelle:

und gleichzeitig gilt:


Wenn ich jetzt F'(b) integriere(und zwar nach t(Das ist auch der Punkt, an dem ich mir unsicher bin. Ich weiß nicht, ob ich hier wirklich nach t integrieren muss)), erhalte ich ja eigentlich meine Funktion(für F(b) bzw. ganz F(a), da die Ableitung ja konstant ist).

Also:



und da gilt:

kann ich hiermit c bestimmen.

Ich bin mir jetzt allerdings unsicher, was ich an der Stelle F(b) für t einsetzen muss. Oder lass ich das einfach als Parameter stehen?

Da haperts noch

Gruß jgdjs
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hoffe zunächst, daß deine Herleitung stimmt, da du sie hier nicht niedergeschrieben hast:



Du hast da links stehen, die Variable ist jedoch . Ich hoffe, das ist nur ein Schreibfehler. Und noch eine Kleinigkeit: Es ist besser, zu schreiben als . Ahnst du warum?

Und jetzt mußt du in der Tat integrieren, um zu erhalten. Aber die Variable der Funktion ist und nicht ein oder sonst etwas:



Das ist vielleicht etwas verwirrend, weil es nicht der gängigen Konvention entspricht, sich aber aus den Umständen hier zweckmäßigerweise ergibt. Wenn es dir hilft, kannst du die Variable in einen noch freien Bezeichner umbenennen, z.B. .
Die bei der Integration auftretende Integrationskonstante ist so zu wählen, daß wird. Die Stelle ist die einzige, an der man den Funktionswert von vorneherein kennt (siehe originale Definition von über das uneigentliche Integral). Das nutzt man hier aus. Für die Funktion spielt die Rolle eines (konstanten) Parameters. Ich hätte vielleicht besser statt geschrieben, wollte aber die Bezeichnung nicht zu sehr aufladen.
jgdjs Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Leopold,

Ich habe deswegen F'(b) geschrieben, weil die Funktion an der Stelle b abgeleitet eben diesen Wert hatte. Das sollte doch passen.

Da ich mittlerweile eine Lösung zu der Aufgabe gesehen habe, weiß ich auch, dass meine Herleitung zur Ableitung passt.

ist wohl besser als , da man das auch sonst so interpretieren könnte: , allerdings habe ich mir das irgendwie angewöhnt, sollte ich wohl mal wieder ändern, da man es sonst leicht missverstehen kann.


Dass man die Funktion nach a integriert, macht wohl schon irgendwie Sinn. Jetzt auf die Schnelle habe ich den Grundgedanken auf jeden Fall verstanden und somit auch die Aufgabe. ich werde sie nochmal komplett durchrechnen und falls ich was nicht versteh, werde ich mich nochmal melden.

Vielen Dank schon mal und in der Hoffnung mich nicht mehr melden zu müssen,

gruß
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