DGl: x*y' = x^2 -y

06.07.2013, 21:10	Blubbs19	Auf diesen Beitrag antworten »
*DGl: xy' = x^2 -y** Hi, wir müssen das DGl mithilfe von Variation der Konstanten errechnen... Ich bin so vorgegangen, das ich +y auf beiden Seiten gemacht habe, sodass wir ein Störfunktion = x^2 haben. Dann folgt: $\begin{eqnarray} xy' +y = x^2 \end{eqnarray}$ Wenn ich die homogene Gleichung lösen will: $\begin{eqnarray} xy' +y = 0 \end{eqnarray}$ Erhalte ich: $\begin{eqnarray} y(x) = \frac{1}{x} + C \end{eqnarray}$ Ich ersetze C mit C(x), und berechne mir die Ableitung von y(x): $\begin{eqnarray} y(x)' = -\frac{1}{x^2} + C(x)' \end{eqnarray}$ Wenn ich y und y' in die Ausgangs DGl einsetze, erhalte ich sowas: $\begin{eqnarray} x(-\frac{1}{x^2} + C(x)') + \frac{1}{x} + C(x) = x^2 \end{eqnarray*}$ Damit kann ich aber nichts anfangen, sprich wie soll ich hier nach C(x)' oder C(x) ??
06.07.2013, 21:19	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
*RE: DGl: xy' = x^2 -y** Eigentlich sollte man $\begin{eqnarray} xy'+y=(xy)' \end{eqnarray}$ bemerken, d.h. $\begin{eqnarray} xy=\frac13x^3+C \end{eqnarray}$ ... Deine Lösung der homogenen Gleichung ist allerdings falsch. Die Lösungsmenge einer linearen homogenen DGL ist stets ein Vektorraum; insbesondere muss die Nullfunktion eine Lösung sein. Du kannst jedoch $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ nicht so wählen, dass $\begin{eqnarray} \frac1x+C\equiv0 \end{eqnarray}$ .
06.07.2013, 21:26	Blubbs19	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke ich habs raus

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