Linineintegral

06.07.2013, 21:28	hänsel	Auf diesen Beitrag antworten »
Linineintegral Hallo, bin mal wieder mit einer Aufgabe überfordert: Berechne folgende Linienintegrale im $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ , d.h $\begin{eqnarray} \vec{x}=(x,y,z)^T \end{eqnarray}$ a.) $\begin{eqnarray} \int_k \|\vec{x}\|^2ds \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} k: t \rightarrow ( \cos t, \sin t,t)^T \quad t \in [0,2\pi] \end{eqnarray}$ b.) $\begin{eqnarray} \int f ds \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x,y)=xy \end{eqnarray}$ entlang des negativ orientierten Krieses $\begin{eqnarray} x^2+y^2=4 \end{eqnarray}$ leider bin ich dieses Mal ziemlich überfordert, da ich nicht mal weiß, wie ich anfangen muss. Zuerst muss ich ja meine Kurve parametrisieren. Ich DENKE , dass ich das bei der a.) schon gegeben habe. deswegen müsste ich dann doch damit weirekommen: $\begin{eqnarray} \int_a^b \|\|\dot{f}\|\|ds \end{eqnarray}$ . Stimmt das so? gruß hänsel
06.07.2013, 21:33	hänsel	Auf diesen Beitrag antworten »
ich sollte f natürlich noch näher definieren: ich setze für $\begin{eqnarray} \vec{x} \end{eqnarray}$ also ein: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} cos t \\ sin t\\ t \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wie ich das dann allerdings integrieren soll und ,und und....keine Ahnung?!
06.07.2013, 22:29	hänsel	Auf diesen Beitrag antworten »
so, ich habe jetzt mal weitergerechnet, ohne zu wissen, ob es stimmt: also: hier ist $\begin{eqnarray} f(x)=\|\vec{x}\|^2 \end{eqnarray}$ . Dann ist die Parameterdarstellung x(t): $\begin{eqnarray} x(t)=\begin{pmatrix} t \\ f(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ also: $\begin{eqnarray} x(t)=\begin{pmatrix}t \\ \cos^2(t) +sin^2(t) + t^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und somit: $\begin{eqnarray} \dot{x}(t)=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \cos(t) \cdot (-sin(t))+2 \cdot sin(t) \cdot cos(t)+ 2t \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und davon die norm(euklidische): $\begin{eqnarray} \|\|\dot{x}(t)\|\|=\sqrt {1^2+ (2 \cos(t) \cdot (-sin(t))+2 \cdot sin(t) \cdot cos(t)+ 2t)^2) } \end{eqnarray}$ und das dann von 0 bis 2 pi nach t integrieren? korrekt? gruß Hänsel

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