Matrix von rechts / links multiplizieren (transponieren)

06.07.2013, 23:50

Ascareth

Matrix von rechts / links multiplizieren (transponieren)

Hallo,

wenn ich beispielsweise das hier rechne:
$\begin{eqnarray*} M \cdot \vec{a} \end{eqnarray*}$

dann ist das doch eine Multiplikation von rechts, also definitiv ein Spaltenvektor mit einer Matrix. Es kann sich dabei nicht um einen Zeilenvektor handeln. Oder?

Wenn ich das hier rechne:
$\begin{eqnarray*} \vec{a} \cdot M \end{eqnarray*}$

dann handelt es sich doch hierbei um eine Multiplikation von links, also definitiv um einen Zeilenvektor mit einer Matrix. Es kann sich dabei nicht um einen Spaltenvektor handeln. Oder?

Wenn das so ist, was passiert denn eigentlich mit dem Vektor, wenn ich das hier bilden soll:
$\begin{eqnarray*} \vec{a}^T \cdot M^T \end{eqnarray*}$

Ich stelle mir das so vor, dass aus dem Spaltenvektor durch die Notation von links ein Zeilenvektor wird, der dann aber wiederum transponiert wird. Nur wie geht das?

Gruß, Asca

07.07.2013, 11:40

Kasen75

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RE: Matrix von rechts / links multiplizieren (transponieren)

Zitat:

Original von Ascareth

Wenn ich das hier rechne:
$\begin{eqnarray*} \vec{a} \cdot M \end{eqnarray*}$

dann handelt es sich doch hierbei um eine Multiplikation von links, also definitiv um einen Zeilenvektor mit einer Matrix. Es kann sich dabei nicht um einen Spaltenvektor handeln. Oder?

Wenn die Dimension der Matrix mxn mit m>1 ist, dann muss $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ ein Zeilenvektor sein. Es sollte eigentlich $\begin{eqnarray*} \vec{a}^T \cdot M \end{eqnarray*}$ dastehen, da Vektoren, die nicht transponiert worden sind, üblicherweise Spaltenvektoren sind.

Zitat:

Original von Ascareth
$\begin{eqnarray*} \vec{a}^T \cdot M^T \end{eqnarray*}$
Ich stelle mir das so vor, dass aus dem Spaltenvektor durch die Notation von links ein Zeilenvektor wird, der dann aber wiederum transponiert wird. Nur wie geht das?

Allein durch das Transponieren wird aus dem Spaltenvektor $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ der Zeilenvektor $\begin{eqnarray*} \vec{a}^T \end{eqnarray*}$ . Das ist Unabhängig von der Reihenfolge der Multiplikation.

Grüße.

08.07.2013, 12:42

Ascareth

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Vielen Dank für die Hilfe!

Eine Frage noch zur Transponierung selbst. Anschaulich gesprochen transponiere ich doch eine Matrix so, dass ich diese um 90° drehe und dann an der Mitte spiegle. Die "Drehrichtung" ist doch aber sicher nicht beliebig. Das heißt, wenn ich die Matrix nach, beispielsweise, um 90° nach links drehe, dann muss ich den Vektor zum Transponieren auch um 90° nach links drehen?

Oder wie würde man diesen Vorgang mathematisch formulieren? (Vielleicht erstmal anschaulich und dann mathematisch Augenzwinkern

)

Gruß, Asca

08.07.2013, 22:22

Kasen75

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Beim Transponieren einer Matrix vertauscht du die einfach die Stellenindizes.

So wird der Wert der an der Stelle $\begin{eqnarray*} a_{ij} \end{eqnarray*}$ der Matrix A steht an die Stelle $\begin{eqnarray*} a_{ji} \end{eqnarray*}$ gesetzt. Dadurch bekommst du dann $\begin{eqnarray*} A^T \end{eqnarray*}$ .

Das ist der einfachste Weg eine Matrix zu transponieren. Man kann auch sagen, dass aus den Zeilenvektoren der Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , die Spaltenvektoren der Matrix $\begin{eqnarray*} A^T \end{eqnarray*}$ werden. Et vis versa.

Bei einer symmetrischen Matrix kann man die Einträge gleich an der Diagonale spiegeln, ganz ohne Drehung.

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 6 & 4 & 2 \\ 9 & 7 & 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A^T=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & a_{31} \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A^T=\begin{pmatrix} 1 & & 9\\ 3 & 4 & \\ & 2 & \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die fehlenden Werte sind ja leicht zu ergänzen.

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