Komplexe Abgleichbedingung

07.07.2013, 10:27

NussRot

Komplexe Abgleichbedingung

Guten morgen alle zusammen,

ich hab da mal eine Frage. Die Abgleichbedingung von komplexen Brücken in der Elektrotechnik ist ja gegeben durch

$\begin{eqnarray*} \frac{Z_1}{Z_2}=\frac{Z_3}{Z_4} \end{eqnarray*}$

Für komplexe Brücken muss dann die Betrags- und Phasenbedingung erfüllt sein.

$\begin{eqnarray*} |Z_1|\cdot|Z_4| = |Z_2|\cdot|Z_3| \qquad \mbox{\underline{\textbf{und}}} \qquad \varphi_1 + \varphi_4 = \varphi_2 + \varphi_3 \end{eqnarray*}$

oder die Realteile und Imaginärteile gleich sein.

$\begin{eqnarray*} \Re \{Z_1\cdot Z_4\} = \Re \{Z_2\cdot Z_3\} \qquad \mbox{\underline{\textbf{und}}} \qquad \Im \{Z_1\cdot Z_4\} = \Im \{Z_2\cdot Z_3\} \end{eqnarray*}$

Wenn $\begin{eqnarray*} Z_1...Z_4 \end{eqnarray*}$ aus der Schaltung bekannt ist und in $\begin{eqnarray*} \tfrac{Z_1}{Z_2}=\tfrac{Z_3}{Z_4} \end{eqnarray*}$ eingesetzt wird und die Gleichung umgestellt und dann die Realteile und Imaginärteile gleichgesetzt werden, bekomme ich ein anderes Ergebnis als wenn ich direkt mit $\begin{eqnarray*} \Re \{Z_1\cdot Z_4\} = \Re \{Z_2\cdot Z_3\} \end{eqnarray*}$ rechne.

Ich stehe irgendwie gerade auf dem Schlauch und seh die Herleitung nicht warum dies so ist, oder wo ich einen Denkfehler habe.

Vielleicht kann mir ja jemand auf die Sprünge helfen.

Vielen Dank

08.07.2013, 09:24

Steffen Bühler

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RE: Komplexe Abgleichbedingung
Schreib doch mal Deine Rechnungen mit den Werten hin.

Viele Grüße
Steffen

08.07.2013, 23:03

NussRot

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RE: Komplexe Abgleichbedingung
Hallo,

also und zwar geht es um die Abgleichbedingung einer komplexen Wechselstrombrücke.
Es gilt wie gesagt:

$\begin{eqnarray*} Z_1 \cdot Z_4 = Z_2\cdot Z_3 \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} Z_1 = \frac{1}{\frac{1}{R_1}+j\omega C_1} \qquad ; \qquad Z_2 = \frac{1}{\frac{1}{R_2}+j\omega C_2} \qquad ; \qquad Z_3 = R_3 \qquad ; \qquad Z_4 = R_4 \end{eqnarray*}$

Durch Einsetzen ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \frac{R_4}{\frac{1}{R_1}+j\omega C_1} = \frac{R_3}{\frac{1}{R_2}+j\omega C_2} \end{eqnarray*}$

In vielen Büchern steht jetzt, als Abgleichbedingung:

$\begin{eqnarray*} \Re{ \left\{ Z_1\cdot Z_4 \right\} } = \Re{\left\{Z_2\cdot Z_3\right\}} \qquad \mbox{und} \qquad \Im{\left\{Z_1\cdot Z_4\right\}} = \Im{\left\{Z_2\cdot Z_3\right\}} \end{eqnarray*}$

Das würde bedeuten:

$\begin{eqnarray*} \Re{\left\{\frac{R_4}{\frac{1}{R_1}+j\omega C_1}\right\}} = \Re{\left\{\frac{R_3}{\frac{1}{R_2}+j\omega C_2}\right\}} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \Im{\left\{\frac{R_4}{\frac{1}{R_1}+j\omega C_1}\right\}} = \Im{\left\{\frac{R_3}{\frac{1}{R_2}+j\omega C_2}\right\}} \end{eqnarray*}$

Um den Realteil und Imaginärteil zu bekommen würde ich jetzt konjugiert-komplex Erweitern und Auflösen. Dann bekomme ich folgende Gleichung:

$\begin{eqnarray*} \Re{\left\{\underbrace{\frac{\frac{R_4}{R_1}-j\omega R_4C_1}{\frac{1}{R_1^2}+\omega^2C_1^2}}_{Z_1 Z_4}\right\}} = \Re{\left\{\underbrace{\frac{\frac{R_3}{R_2}-j\omega R_3C_2}{\frac{1}{R_2^2}+\omega^2C_2^2}}_{Z_2 Z_3}\right\}} \end{eqnarray*}$

Für die Gleichung mit dem Imaginärteil gilt dies entsprechend.

Jetzt findet man aber auch sehr oft folgende Vorgehensweise:

$\begin{eqnarray*} \frac{R_4}{\frac{1}{R_1}+j\omega C_1} = \frac{R_3}{\frac{1}{R_2}+j\omega C_2} \qquad \Rightarrow \qquad R_4\left(\frac{1}{R_2}+j\omega C_2\right) = R_3\left(\frac{1}{R_1}+j\omega C_1\right) \end{eqnarray*}$

Wenn man jetzt nach Real- und Imaginärteil aufteilt, erhält man:

$\begin{eqnarray*} \frac{R_4}{R_2} = \frac{R_3}{R_1} \qquad \mbox{und} \qquad R_4 C_2 = R_3 C_1 \end{eqnarray*}$

Konjugiert-komplex Erweitern verändert doch die Zahl nicht, aber warum komme ich nicht auf die gleichen Ergebnisse bzw. wie kann ich diese beiden Wege vereinen?

Viele Grüße

09.07.2013, 10:31

Steffen Bühler

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RE: Komplexe Abgleichbedingung

Zitat:

Original von NussRot
$\begin{eqnarray*} \Re{\left\{\underbrace{\frac{\frac{R_4}{R_1}-j\omega R_4C_1}{\frac{1}{R_1^2}+\omega^2C_1^2}}_{Z_1 Z_4}\right\}} = \Re{\left\{\underbrace{\frac{\frac{R_3}{R_2}-j\omega R_3C_2}{\frac{1}{R_2^2}+\omega^2C_2^2}}_{Z_2 Z_3}\right\}} \end{eqnarray*}$

Ja, da hast Du Dir einiges an Arbeit aufgehalst. Dann machen wir für die Realteile mal weiter:

$\begin{eqnarray*} {\frac{\frac{R_4}{R_1}}{\frac{1}{R_1^2}+\omega^2C_1^2}} = {\frac{\frac{R_3}{R_2}}{\frac{1}{R_2^2}+\omega^2C_2^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to {\frac{{R_4}}{\frac{1}{R_1}+\omega^2C_1^2 R_1}} = {\frac{{R_3}}{\frac{1}{R_2}+\omega^2C_2^2 R_2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to R_4 \cdot \left(\frac{1}{R_2}+\omega^2C_2^2 R_2 \right) = R_3 \cdot \left(\frac{1}{R_1}+\omega^2C_1^2 R_1 \right) \end{eqnarray*}$

Für die Imaginärteile kann man ebenfalls weiter vereinfachen. Dann bleiben Terme übrig, die den genannten Alternativausdrücken entsprechen sollten, ja müssen. Ich habe aus Zeitmangel jetzt nicht weitergerechnet, aber es sollte sich einiges auflösen.

Viele Grüße
Steffen

09.07.2013, 16:02

NussRot

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Hallo,

ich sehe leider noch nicht wie ich

$\begin{eqnarray*} \omega^2 C_2^2 R_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \omega^2 C_1^2 R_1 \end{eqnarray*}$

auflösen kann?

09.07.2013, 16:09

Steffen Bühler

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Das wird erst gehen, wenn Du Dir auch noch die Imaginärteile vornimmst:

$\begin{eqnarray*} \frac{\omega R_4 C_1}{\frac{1}{R_1^2}+\omega^2C_1^2}} = {\frac{\omega R_3 C_2}{\frac{1}{R_2^2}+\omega^2C_2^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to ... \end{eqnarray*}$

Die Kombination der beiden Gleichungen sollte dann zum Ziel führen.

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