Primärideal als Potenz eines maximalen Ideals

07.07.2013, 12:48

lucky45

Primärideal als Potenz eines maximalen Ideals

Meine Frage:
Hallo,
ich möchte zeigen, dass jedes Ideal im Ganzheitsring eines quadratischen Zahlringes primär ist, wenn es eine Potenz eines maximalen Ideals ist.
Also $\begin{eqnarray*} q=m^n \end{eqnarray*}$ mit m maximal $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ q primär.

Meine Ideen:
Voraussetzung: $\begin{eqnarray*} q=m^n \end{eqnarray*}$ und m maximal bzw. in O_K auch prim (bereits bewiesen)
Behauptung: q primär, also Radikal(q) prim bzw. maximal.
Beweis: Es gilt ja $\begin{eqnarray*} rad(m^n)=rad(m) \end{eqnarray*}$ .
Es ist also zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} rad(m)=:p \end{eqnarray*}$ prim ist.

Sei also $\begin{eqnarray*} ab \equiv 0 (p), a \not \equiv 0 (p) \end{eqnarray*}$ .

Ist es bis hier richtig, oder ist der Ansatz bereits falsch?
Bzw. wie fahre ich fort?
Vielen Dank schonmal smile

07.07.2013, 13:06

Captain Kirk

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Für jedes Primideal (und damit natürlich auch für jedes maximale Ideal) gilt:
$\begin{eqnarray*} rad(p^n)=rad(p)=p \end{eqnarray*}$

07.07.2013, 13:15

lucky45

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ach cool, das heißt ich brauch eigentlich nur den Satz beweisen und bin fertig?
Meinst du der Ansatz ist richtig?
Danke!!

07.07.2013, 13:35

Captain Kirk

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Soweit ich deinen Ansatz verstehe ist er komplett falsch.

Es gilt: q primär $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sqrt{q} \end{eqnarray*}$ Primideal.
Die Umkehrung gilt im Algemeinen nicht. Du scheinst sie aber verwenden zu wollen.

Es gilt aber in beliebigen komm. Ringen, dass Ideale, deren Radikal maximal ist, prim sind.
Das lässt sich relativ elementar beweisen.

Es mag in dem konkreten Fall hier noch andere Beweismöglichkeiten geben, dass hängt stark davon ab was bereits bekannt ist.

07.07.2013, 14:19

lucky45

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Ok, danke dir!
Da war ich wohl auf dem Holzweg.
Was mich nur wundert:
Eine vorangegangene Aufgabe war die Umkehrung der Aussage im Ganzheitsring von quadr. Zahlringen zu beweisen.
Also $\begin{eqnarray*} Rad (q) \end{eqnarray*}$ prim $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ q primär.
Dann war da auch bereits etwas falsch?

Und dann bleibt für mich das Problem, wie ich denn das Ausgangsproblem (q=m^n, m maximal => q primär) lösen kann?
vg

08.07.2013, 16:20

watcher

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Zitat:

Eine vorangegangene Aufgabe war die Umkehrung der Aussage im Ganzheitsring von quadr. Zahlringen zu beweisen. Also $\begin{eqnarray*} Rad (q) \end{eqnarray*}$ prim $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ q primär. Dann war da auch bereits etwas falsch?

Wenn ihr es bewiesen habt, dann ist es richtig. Mir selbst ist diese Aussage wie wohl auch Captain Kirk nicht bekannt.

Nur fehlt halt die Erwähnung dieses Satzes in deinem ersten Ansatz. Und durch das weglassen wesentlicher Schritte wird halt ein Ansatz falsch.

Es genügt hier also noch die elementare Aussage:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} rad(p^n)=rad(p)=p \end{eqnarray*}$

anzuführen.

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