Poissonverteilung

07.07.2013, 15:30	DaCaeser	Auf diesen Beitrag antworten »
Poissonverteilung Meine Frage: Ich zerbreche mir gerade den Kopf über folgende Aufgabe Die Poissonverteilung mit Parameter $\begin{eqnarray} \lambda>0 \end{eqnarray}$ ist eine diskrete Verteilung auf $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_+ \end{eqnarray}$ . Seien $\begin{eqnarray} X,Y \end{eqnarray}$ unabhängig und Poisson-verteilt mit Parameter $\begin{eqnarray} \lambda, \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ (c) Bestimmen Sie für festes $\begin{eqnarray} n\in\mathbb{Z}_+ \end{eqnarray}$ die bedingte Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} \mathbb{P}(X=k\|X+Y=n) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} k\in\{0,\ldots,n\}. \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Für $\begin{eqnarray} \{X=k\}\cap\{X+Y=n\} \end{eqnarray}$ muss gelten $\begin{eqnarray} \{Y=n-k\} \end{eqnarray}$ , damit gilt $\begin{eqnarray} \mathbb{P}(X=k\|X+Y=n)=\frac{\mathbb{P}(X=k,Y=n-k)}{\mathbb{P}(X+Y=n)}=\ldots \end{eqnarray}$ mit etwas rechnen erhalte ich dann $\begin{eqnarray} \ldots=\binom n k \frac{\lambda^k \mu^{n-k}}{(\lambda+\mu)^n}. \end{eqnarray}$ Ich bin aber nicht über das Argument bewusst, was die erste Gleichheit meiner Rechnung legitimiert. Über einen Austausch darüber würde ich mich sehr freuen.
07.07.2013, 16:32	Math1986	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poissonverteilung Das ist die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit: $\begin{eqnarray} \mathbb{P}\left(X=k\mid X+Y=n\right)=\frac{\mathbb{P}(X=k, X+Y=n)}{\mathbb{P}(X+Y=n)}=\frac{\mathbb{P}(X=k,Y=n-k)}{\mathbb{P}(X+Y=n)} \end{eqnarray}$
07.07.2013, 16:55	DaCaeser	Auf diesen Beitrag antworten »
Jut un der Rest ist dann ja letztlich rumgerechne. Ich war mir mehr unsicher wie ich das formuliere mit dem Schnitt $\begin{eqnarray} A\cap B \end{eqnarray}$ bei $\begin{eqnarray} \mathbb{P}(A\|B)=\frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)} \end{eqnarray}$ Aber solangsam platzen die Knoten ^^ Hab ja Stochastik I jetzt lange genug vor mit hergeschoben

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