Rotationskörper - Paradox?

27.02.2007, 14:35

Rotationskörper - Paradox?

Hallo!

In der Schule haben wir heute einmal kurz Rotationskörper angesprochen, weil sie theoretisch in der Abiklausur drankommen können.

Unser Lehrer machte uns dabei auf das folgende Problem aufmerksam:
Wir wollen folgendes Integral berechnen:
$\begin{eqnarray*} \int\limits_1^{\infty}\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$
Dies ist ja bekanntlich in einen Grenzwert umwandelbar und berechenbar:
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{t\to \infty}\,\left(\int\limits_1^{t}\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x\right)=\lim\limits_{t \to \infty}\, \left[\ln(x)\right]_1^t=\infty \end{eqnarray*}$
Die Fläche unter dem Graphen ist also "unendlich".

Wenn wir jetzt (ihr ahnt es sicher schon Augenzwinkern

) einen Rotationskörper (um die x-Achse) daraus basteln, dann ergibt sich mit Hilfe der Formel
$\begin{eqnarray*} \pi \int\limits_a^b f(x)^2 \, \mathrm{d}x \end{eqnarray*}$
für Rotationskörper der folgende Grenzwert:
$\begin{eqnarray*} &&\lim\limits_{t\to \infty}\,\left(\pi \cdot \int\limits_1^{t}\left(\frac{1}{x}\right)^2\,\mathrm{d}x\right)\\ &&=\lim\limits_{t \to \infty}\, \left( \pi \cdot \left[-\frac{1}{x} \right]_1^t \right)=\pi \cdot \left( 1 - \lim\limits_{t \to \infty} \, \frac{1}{t}\right)=\pi \end{eqnarray*}$

Also hat der Graph eine unendliche Fläche, der dazugehörige Rotationskörper aber ein endliches Volumen.

Wo liegt der Fehler in der Überlegung - bei der Überlegung am "Unendlichen"? Oder handelt es sich hier tatsächlich um eine Art Paradox, wie es zur Zeit für mich aussieht?

Gruß
MI

27.02.2007, 14:41

brain man

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \pi \int\limits_a^b f(x)^2 \, \mathrm{d}x \end{eqnarray*}$
für Rotationskörper der folgende Grenzwert:
$\begin{eqnarray*} &&\lim\limits_{t\to \infty}\,\left(\pi \cdot \int\limits_1^{t}\left(\frac{1}{x}\right)^2\,\mathrm{d}x\right)\\ &&=\lim\limits_{t \to \infty}\, \left( \pi \cdot \left[-\frac{1}{x} \right]_1^t \right)=\pi \cdot \left( 1 - \lim\limits_{t \to \infty} \, \frac{1}{t}\right)=\pi \end{eqnarray*}$

Du hast gar nicht integriert bzw. die Stammfunktion gebildet.

27.02.2007, 14:43

Calvin

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Doch hat er. Vorher stand noch ein Quadrat da Augenzwinkern

Klingt paradox, ist aber tatsächlich so.

27.02.2007, 14:45

brain man

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Argh - Verschaut ! Augenzwinkern

27.02.2007, 14:54

klarsoweit

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Zitat:

Original von Calvin
Klingt paradox, ist aber tatsächlich so.

Da fällt mir ein, daß es (wenn ich mich nicht irre) auch in der Ebene Figuren mit endlicher Fläche, aber unendlichem Umfang gibt.

27.02.2007, 18:26

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@klarsoweit:

Ja klar, die kenne ich auch. "Schneeflocken" (Koch-Flocke" gibt es da zum Beispiel, die über Fraktale erzeugt werden.
Aber diese Sache finde ich logisch, kann sie mir vorstellen, da ja ein größerer "Umfang" auch zu einer Verkleinerung der Fläche führen kann (Falten).

Aber hiermit habe ich trotzdem meine Probleme...
Wie soll man sich das vorstellen? Oder ist das quasi nicht vorstellbar und somit wirklich eine Art "Paradox" - nicht die Mathematik betreffend, sondern die menschliche Vorstellung?
Der Rotationskörper setzt sich ja aus der (unendlichen Fläche) zusammen. Statt einer unendlichen Reihe aus unendlich kleinen Säulen (Integration), habe ich jetzt eine unendliche Reihe aus unendlich kleinen Kreisen, deren Radius die Säulen sind. Somit müsste sich auch ein unendliches Volumen ergeben...

Mich würde halt nur interessieren, ob es hierfür eine "Veranschaulichung" gibt, oder ob das quasi den menschlichen Geist übersteigt. Das es mathematisch korrekt ist, daran habe ich eigentlich nicht so große Zweifel.

Gruß
MI

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