Homöomorphismus beweisen

08.07.2013, 16:40

Homöomorphismus

Homöomorphismus beweisen

Meine Frage:
Hallo,

ich habe eine Aufgabe vor mir liegen, die ich gerne genau verstanden wüsste. Gegeben sind die folgenden Mengen: $\begin{eqnarray*} D^n=\{x\in \mathbb{R}^n : \|x\|_2 \le 1 \}, S^n=\partial D^{n+1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D_+^n=\{ (x_1,\cdots,x_{n+1})\in S^n : x_{n+1} \ge 0 \} \sbuset \mathbb{R}^{n+1}.<br /> <br /> Nun soll ich untersuchen, ob [l]f : D^n \to D_+^n, h_2(x)=(x,\sqrt{1-\|x\|_2^2) \end{eqnarray*}$ ein Homöomorphismus ist.

Meine Ideen:
Ich weiß grundsätzlich, was zu zeigen ist: (a) $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ müsste bijektiv sein (b) $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ müsste stetig sein (c) $\begin{eqnarray*} f^{-1] \end{eqnarray*}$ müsste stetig sein.

Nun sind die Mengen etwas komplizierter ... Wie gehe ich eine solche Aufgabe, angenommen auch bei einer Klausur, am besten heran? Wie kann ich mir "das Leben erleichtern"?

Um ehrlich zu sein, finde ich momentan gar keinen Ansatz. Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen smile

08.07.2013, 16:56

Homöomorphismus

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RE: Homöomorphismus beweisen
Tut mir leid, ich muss meinen Beitrag korrigieren

Zitat:

Original von Homöomorphismus
Meine Frage:
Hallo,

ich habe eine Aufgabe vor mir liegen, die ich gerne genau verstanden wüsste. Gegeben sind die folgenden Mengen: $\begin{eqnarray*} D^n=\{x\in \mathbb{R}^n : \|x\|_2 \le 1 \}, S^n=\partial D^{n+1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D_+^n=\{ (x_1,\cdots,x_{n+1})\in S^n : x_{n+1} \ge 0 \} \subset \mathbb{R}^{n+1} \end{eqnarray*}$ .

Nun soll ich untersuchen, ob $\begin{eqnarray*} f : D^n \to D_+^n, h_2(x)=\left(x,\sqrt{1-\|x\|_2^2}\right) \end{eqnarray*}$ ein Homöomorphismus ist.

Meine Ideen:
Ich weiß grundsätzlich, was zu zeigen ist: (a) $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ müsste bijektiv sein (b) $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ müsste stetig sein (c) $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ müsste stetig sein.

Nun sind die Mengen etwas komplizierter ... Wie gehe ich eine solche Aufgabe, angenommen auch bei einer Klausur, am besten heran? Wie kann ich mir "das Leben erleichtern"?

Um ehrlich zu sein, finde ich momentan gar keinen Ansatz. Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen smile

08.07.2013, 18:37

Homöomorphismus

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Ist die Frage zu einfach oder zu schwer? Ich möchte die Aufgabe wirklich gerne lösen, brauche dabei aber noch etwas Hilfe

08.07.2013, 18:57

Che Netzer

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RE: Homöomorphismus beweisen

Zitat:

Original von Homöomorphismus
Wie kann ich mir "das Leben erleichtern"?

Eigentlich ist es hier kein Problem alle Eigenschaften einzeln zu überprüfen.

Vielleicht ist aber auch die folgende Aussage bekannt:
Eine stetige bijektive Abbildung von einem kompakten Hausdorff-Raum in einen Hausdorff-Raum ist ein Homöomorphismus. (denn dann sind abgeschlossene Mengen im Urbildraum kompakt; werden auf Kompakta abgebildet, welche im Bildraum wieder abgeschlossen sind)

Wenn du das benutzen darfst, würde es z.B. genügen hier die Stetigkeit der Umkehrfunktion zu zeigen; die Stetigkeit der Funktion selbst kannst du dann daraus folgern.

Vorausgesetzt, du darfst "erkennen", dass $\begin{eqnarray*} D_+^n \end{eqnarray*}$ kompakt ist.

08.07.2013, 19:08

Homöomorphismus

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RE: Homöomorphismus beweisen

Zitat:

Original von Che Netzer
Vielleicht ist aber auch die folgende Aussage bekannt:

Diesen Satz haben wir leider nicht behandelt.

Zitat:

Original von Che Netzer
Vorausgesetzt, du darfst "erkennen", dass $\begin{eqnarray*} D_+^n \end{eqnarray*}$ kompakt ist.

Das würde ich wohl zeigen müssen. Wie kann ich denn möglichst einfach zeigen, dass die Abbildung stetig ist?

08.07.2013, 19:10

Che Netzer

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RE: Homöomorphismus beweisen
Hier kannst du über Stetigkeit von Kompositionen gehen.
D.h. die Norm ist stetig, das Quadrieren, die Wurzel etc.
Und eine Funktion mit Werten im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ ist genau dann stetig, wenn sie komponentenweise stetig ist.

08.07.2013, 19:39

Homöomorphismud

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RE: Homöomorphismus beweisen
Und wie mache ich das dann für die Umkehrabbildung? Dafür müsste doch die Funktion erst mal bijektiv sein.

Wie mache ich das?

08.07.2013, 20:11

Homöomorphismus

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Ich habe darüber nachgedacht. Ist das ganze nicht völlig trivial?

Bijektiv ist die Funktion doch allein schon weil die erste Komponente von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ wieder $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist. Die Funktion ist stetig, da sie eine Komposition stetiger Funktionen ist. Die Umkehrfunktion ist doch einfach nur die Projektion auf die erste Komponente - somit ebenfalls stetig.

Mache ich hier irgendetwas grundlegend falsch?

08.07.2013, 20:28

Che Netzer

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Zitat:

Original von Homöomorphismus
Bijektiv ist die Funktion doch allein schon weil die erste Komponente von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ wieder $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist.

Das liefert einem die Injektivität.

Zitat:

Die Funktion ist stetig, da sie eine Komposition stetiger Funktionen ist.

Ja.

Zitat:

Die Umkehrfunktion ist doch einfach nur die Projektion auf die erste Komponente - somit ebenfalls stetig.

Naja, die Projektion auf die ersten $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Komponenten.

08.07.2013, 20:46

Homöomorphismus

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Zitat:

Original von Che Netzer
Das liefert einem die Injektivität.