Wann zyklisch, wann nicht zyklisch?

08.07.2013, 17:18

Ascareth

Wann zyklisch, wann nicht zyklisch?

Hallo,

dies stellt ein vereinfachtes Populationsmodell für Maikäfer dar:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 60 \\ \frac{1}{3} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{5} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Potenziert man diese Matrix 4 mal, sind ausschließlich Elemente der Hauptdiagonalen ungleich 0. Außerdem sind diese Hauptelemente gleich 1. Also so:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das abgeänderte Populationsmodell für diese Maikäfer (fiktive Umwelteinflüsse dargestellt) sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{1}{20} & 0 & 0 & 60 \\ \frac{1}{3} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{5} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{10} & \frac{1}{4} & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Es scheint, ganz egal wie oft man dieses abgeänderte Populationsmodell auch potenziert, dass sich hier niemals Werte ungleich 0 ausschließlich in der Hauptdiagonalen zeigen.

Ist das so, dass, wenn ausschließlich Werte ungleich 0 in der Hauptdiagonalen stehen, man es dann mit einem zyklischen Modell zu tun hat, oder muss jeder Wert der Hauptdiagonalen außerdem noch 1 sein, damit das Zykluskriterium erfüllt ist.

Ich gehe davon aus, dass das abgeänderte Modell definitiv kein zyklisches ist, weil niemals ausschließlich Elemente der Hauptdiagonalen ungleich 0 sind. (habe ich für mehrfache Potenzen der Matrix gesehen).

Ist das so?

Gruß, Asca

08.07.2013, 21:16

Ascareth

Auf diesen Beitrag antworten »

Nachlesen hat ergeben:

$\begin{eqnarray*} L = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & R \\ a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L^4 = \begin{pmatrix} abcR & 0 & 0 & 0 \\ 0 & abcR & 0 & 0 \\ 0 & 0 & abcR & 0 \\ 0 & 0 & 0 & abcR \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(Hoch 4 deshalb, weil dies die Anzahl der Übergangsfaktoren ist)

Wenn abcR > 1 dann zyklischer Anstieg
Wenn abcR < 1 dann zyklischer Fall
Wenn abcR = 1 dann zyklische Wiederholung

Was aber wenn gar kein abcR entsteht wie bei:
$\begin{eqnarray*} L = \begin{pmatrix} \frac{1}{20} & 0 & 0 & 60 \\ \frac{1}{3} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{5} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{10} & \frac{1}{4} & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

L ist jetzt also nicht zyklisch. Aber warum?
Ist hier auch wieder die Anzahl an Übergangsfaktoren ausschlaggebend? Also wenn L hier nach 4 Übergangsfaktoren nicht ausschließlich abcR-ähnliche Produkte entlang der Hauptdiagonalen zeigt, dann ist L nicht zyklisch, oder wie?

08.07.2013, 21:23

Theend9219

Auf diesen Beitrag antworten »

Also laut KLICK sind ja die Diagonalenelemente falls es zyklisch ist identisch..

08.07.2013, 21:24

Ascareth

Auf diesen Beitrag antworten »

Also: Zyklisch, wenn nach L^{Übergangsstufen} nur noch die Elemente der Matix ungleich 0 sind, die sich auf der Hauptdiagonalen befinden.

Wenn diese Elemente dann > 1 sind, oder < 1 oder = 1 usw ... Aber auch dann zyklisch.

Richtig?

08.07.2013, 21:25

Ascareth

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Theend9219
Also laut KLICK sind ja die Diagonalenelemente falls es zyklisch ist identisch..

Jo, da warst du schneller.

Ich glaube so meine ich das. Sorry, aber bei Wiki kann ich das immer nicht rauslesen. Ich glaub komplizierter kann man es nicht ausdrücken als dort.

08.07.2013, 21:29

Ascareth

Auf diesen Beitrag antworten »

Moment, eine Frage noch.

Wenn aber die Diagonalelemente alle gleich sind, dürfen dann dabei die übrigen Elemente dennoch unterschiedliche Werte annehmen, oder ist das ohnehin ausgeschlossen?

08.07.2013, 21:50

Theend9219

Auf diesen Beitrag antworten »

Hey

mitlerweile finde ich wiki ganz akzeptabel Big Laugh

Naja schau doch mal z.B zeile 1 da steht $\begin{eqnarray*} a_{0} \end{eqnarray*}$ und dann $\begin{eqnarray*} a_{n-1} \end{eqnarray*}$ also das hat bestimmt eine bedeutung also das vorlertzte glied

08.07.2013, 22:50

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

@ Ascareth

Mach es doch nicht komplizierter als es ist.
Bei diesen ganzen Populationsmatrizen ist eben dies hier entscheidend:

Zitat:

dies stellt ein vereinfachtes Populationsmodell für Maikäfer dar:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 60 \\ \frac{1}{3} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{5} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Potenziert man diese Matrix 4 mal, sind ausschließlich Elemente der Hauptdiagonalen ungleich 0. Außerdem sind diese Hauptelemente gleich 1. Also so:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Diese Matrix nennt man auch Einheitsmatrix E , das ist das so genannte neutrale Element der Matrizenmultiplikation, was eben die Wirkung hat, dass sich dadurch nichts ändert und deshalb eben A*E=E*A=A gilt.
Und genau das ist hier doch nur von Bedeutung: also entweder entsteht durch Potenzieren einer Populationsmatrix A mit einer natürlichen Zahl m irgendwann die Einheitsmatrix E, so dass sich logischerweise danach wegen obigem Zusammenhang wieder $\begin{eqnarray*} A^{m+1}=A^m \cdot A=E \cdot A=A \end{eqnarray*}$ ergibt - oder eben nicht.

Für spezielle Matrizen kann man dafür eben allgemeine Zusammenhänge aufstellen, wie du ja selbst herausgefunden hast.

Neue Frage »

Antworten »

Wann zyklisch, wann nicht zyklisch?

Verwandte Themen