Körpergrad

08.07.2013, 18:14

Theend9219

Körpergrad

Hallooo,

folgendes steht in meinem Lehrbuch.

$\begin{eqnarray*} [K:k] := dim_{k}^(K) \end{eqnarray*}$

Beispiele:

$\begin{eqnarray*} [\mathbb R:\mathbb Q] = \infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [\mathbb C:\mathbb R]= 2 \end{eqnarray*}$

Meine Frage:

Warum folgt da $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ ? Die komplexen Zahlen sind ja in der Ebene aufgefasst also gilt $\begin{eqnarray*} dim \mathbb C = 2 \end{eqnarray*}$ , die sind ja aber auch überabzählbar ...Und wie erhalte ich das erste Ergebnis bei $\begin{eqnarray*} [\mathbb R:\mathbb Q] \end{eqnarray*}$ ?

Liebe Grüßeee Shelly

08.07.2013, 18:34

tmo

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Es gibt Tausende Argument warum $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ unendlich ist.

Ich würde immer das Mächtigkeitsargument bringen, denn so erhält man sogar, dass eine $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ -Basis überabzählbar sein muss. D.h. noch etwas stärker als "nur" unendlich.

Zeige also: Die Menge der $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ -Linearkombinationen einer abzählbaren Menge ist wieder abzählbar.

08.07.2013, 18:52

Theend9219

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Hey tmo,
Vielen Dank für deine Antwort.
Ich versuche dann jetzt mal folgendes:

Zitat:

Original von tmo
Zeige also: Die Menge der $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ -Linearkombinationen einer abzählbaren Menge ist wieder abzählbar.

Abzählbarkeit liegt dann vor, wenn eine Menge die gleiche Abzählbarkeit hat wie die natürlichen Zahlen.
Also ich habe zum Beispiel eine abzählbare Menge $\begin{eqnarray*} L =: \left\{ 1,2,3,4 \right\} \end{eqnarray*}$ , dann heißt L abzählbar, falls $\begin{eqnarray*} \mathbb N \rightarrow L \end{eqnarray*}$ gilt.

Da $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ sowohl in $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ enthalten ist, als auch in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ enthalten ist, ist es abzählbar und fortführend mit größeren Mengen bis hin zu abzählbar unendlich ...
Natürlich gilt das auch für die Linearkombinationen ...
so?

Liebe Grüße

08.07.2013, 19:00

tmo

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Was genau machst du da? Was soll $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

Und vor allem: Mit einem Beweis hat das leider nichts zu tun. Es ist noch nicht einmal ein vielversprechender Ansatz.

08.07.2013, 19:13

Theend9219

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mit L wollt ich nur ein Beispiel machen ... ich weiß nicht wie ich das mit der Mächtigkeit zeigen soll .. vorallem wie ich bei der Linearkombination ansetzen soll in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$

zum Beispiel ist ja $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} 1 \cdot \frac{1}{1}+ 2\cdot \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Das heißt ich hätte zum Beispiel auch $\begin{eqnarray*} 2 = 4 \cdot \frac{1}{4} + 5 \cdot \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$

Das heißt es gibt mehr kombinationen .. heißt das nun das es "mächtiger" ist?

Liebe grüße

08.07.2013, 19:20

lgrizu

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Nein

Mach dir am besten erst mal Gedanken darüber, ohne eine Beweisführung, wie viele reelle Zahlen es denn gibt, die nicht in Q enthalten sind, also wie mächtig die Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb R \setminus \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ist.
Alle Elemente dieser Menge sollst du nun mit einer endlichen und damit auch abzählbaren Linearkombination erzeugen.

Geht das?

Edit: @ tmo:

Sorry, bist ja online, bin wieder weg.....

08.07.2013, 19:24

tmo

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Du bist gerade völlig auf dem verkehrten Dampfer.

Sei $\begin{eqnarray*} M = \{m_i\}_{i \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ irgendeine abzählbare Menge.

Dann gilt $\begin{eqnarray*} Span_{\mathbb Q}(M) = \{\sum_{i=1}^s a_im_i | a_i \in \mathbb Q, s \in \mathbb N \} = \bigcup_{s \in \mathbb N} \{\sum_{i=1}^s a_im_i | a_i \in \mathbb Q\} \end{eqnarray*}$ .

Du musst jetzt nur noch begründen warum die Menge, die da als letztes steht, abzählbar ist.

08.07.2013, 19:32

Theend9219

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Danke für deine Antwort.

Also die reellen Zahlen sind ja alle Zahlen auf der Zahlengeraden. Also ist jede rationale Zahl eine reelle Zahl. Aber nicht umgekeht, denn es gibt ja noch irrationale Zahlen. Irrationale Zahlen sind reelle Zahlen, jedoch keine rationalen Zahlen.. Also ist die Menge der reellen Zahlen > als die Menge der rationalen Zahlen..

Und für die Linearkombination gilt ja dann die Menge
$\begin{eqnarray*} S := \left\{ a+br, a,b \in \mathbb Q,r \in \mathbb R \verb|\| \mathbb Q\right\} <br /> \end{eqnarray*}$

oder?

Liebe Grüße Shelly

EDIT: @tmo: Entschuldigung habe deine Antwort zu spät gelesen.
Naja die a_{i} \in Q sind abzählbar, somit gilt auch für das Skalarprodukt das dies abzählbar sein muss ...

08.07.2013, 19:52

tmo

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Ich hab ja nichts dagegen, wenn man Abzählbarkeit etwas salopp begründet (Niemand zeigt nach der ersten Semesterwoche Abzählbarkeit indem man eine Bijektion nach $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ angibt...)

Aber stichhaltig sollte die Argumente schon sein. Und das sind sie hier leider nicht.

Zumindest die Überlegung, dass abzählbare Vereinigungen abzählbarer Mengen wieder abzählbar sind, und wir deswegen nur die Abzählbarkeit der inneren Mengen zeigen müssen, hätte ich mal erwartet.

Dass die inneren Mengen abzählbar sind, überlegt man sich leicht, da sie offensichtlich nicht mächtiger als $\begin{eqnarray*} \mathbb Q^s \end{eqnarray*}$ sind (wir wählen s rationale Zahlen).

Ich würde dir dann doch einen anderen Weg empfehlen:

Offensichtlich gilt für jedes $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\alpha) \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ , also insbesondere

$\begin{eqnarray*} [\mathbb R: \mathbb Q] \geq [\mathbb Q(\alpha) : \mathbb Q] \end{eqnarray*}$ .

Jetzt wähle mal speziell $\begin{eqnarray*} \alpha = \sqrt[n]{2} \end{eqnarray*}$ .

08.07.2013, 20:12

Theend9219

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Danke ...
Dann versuche ich es mal mit dem Körpergrad...
$\begin{eqnarray*} [\mathbb R, \mathbb Q] \geq [\mathbb(\alpha):\mathbb Q] \end{eqnarray*}$
nun speziell:

$\begin{eqnarray*} [\mathbb R, \mathbb Q] \geq [\mathbb(\sqrt[n]{2}):\mathbb Q] \end{eqnarray*}$

Ich stürze mich erst einmal auf $\begin{eqnarray*} [\mathbb(\sqrt[n]{2}):\mathbb Q] \end{eqnarray*}$
Das Minimalpolynom davon ist ja offenbar:

$\begin{eqnarray*} f=x^{n}-2 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{2} \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q<br /> \end{eqnarray*}$ . Der Grad davon ist $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

08.07.2013, 20:18

tmo

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Ja, genau. Und damit bist du doch fertig, denn es gilt nun $\begin{eqnarray*} [\mathbb R:\mathbb Q] \geq n \end{eqnarray*}$ für jede natürlich Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ...

08.07.2013, 20:24

Theend9219

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Ah dankeschön ... Das war ein einfacherer Weg...

08.07.2013, 20:31

tmo

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Zitat:

Original von Theend9219
Das war ein einfacherer Weg...

"Einfach" ist relativ. Für diesen Weg braucht man ja insbesondere das Eisensteinkriterium, für dessen Beweis man wenigstens mal ein bisschen Algebra gehört haben muss. Überhaupt braucht man für diesen Weg ein bisschen Körpertheorie (Grad der Erweiterung = Grad des Minimalpolynoms).

Für den anderen Weg - der sogar eine stärkere Aussage zeigt (!) - braucht man einfach nur die Definition des aufgespannten Unterraums sowie ein bisschen Theorie über die Mächtigkeit von Mengen. Das macht man beides in den ersten Semsterwochen des 1. Semesters. Offensichtlich hast du da Lücken gelassen.

08.07.2013, 20:43

Theend9219

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Hey

ich hatte von "einfacher" gesprochen also in Relation. Und das einfacher bezieht sich bei mir darauf wie du schon angesprochen hast, ich im ersten Semester dieses Thema wenig Beachtung geschenkt habe ...Also war dann dieser Weg jetzt einfacher für mich. Ich werde mir den anderen Beweis aber trotzdem nocheinmal überlegen nach deinen Gedanken..

Liebe Grüße Shelly

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