Abstand Punkt - Ebene, Werte nicht mehr im Kopf berechenbar

08.07.2013, 18:56

dr.mave

Abstand Punkt - Ebene, Werte nicht mehr im Kopf berechenbar

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich muss den Abstand eines Punktes von einer Ebene ausrechnen. Bei der Ebene handelt es sich um eine Tangentialebene an einem bestimmten Punkt. Bisher ist das kein Problem. Leider muss ich die Aufgabe ohne Taschenrechner lösen und die Werte werden sehr unübersichtlich. Irgendwo hier muss ich einen Denkfehler gemacht haben.

Meine Ideen:
Funktionsgleichung: $\begin{eqnarray*} f(x)=2x-y^{2} \end{eqnarray*}$
Tangentialebene im Punkt (e^2,e,2) $\begin{eqnarray*} -2=\frac{2}{e^{2} }x- \frac{2}{e^{} }y-z \end{eqnarray*}$
Punkt (von wo der Abstand zur Ebene ermittelt werden soll) $\begin{eqnarray*} (e^{2},e,0) \end{eqnarray*}$

Ich habe zuerst die Geradengleichung, ausgehend von dem Punkt mit der Normalen der Ebene, erstellt:

$\begin{eqnarray*} g:\begin{pmatrix} e^{2} \\ e \\ 0 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} \frac{2}{e^{2} } \\ \frac{-2}{e} \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Diese habe ich in die Hessische Normalform der Ebene eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} (x-\begin{pmatrix} e^{2} \\ e \\ 2 \end{pmatrix} )\begin{pmatrix} \frac{2}{e^{2} } \\ \frac{-2}{e} \\ -1 \end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$

Wenn man nach t auflösen will werden die Werte sehr unhandlich und nicht mehr im Kopf berechenbar.
Mir ist noch aufgefallen dass der Punkt der Tangentialebene und der andere Punkt nur in der Z Koordinate abweichen....weiß nicht ob das wichtig ist.

08.07.2013, 20:04

Dopap

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RE: Abstand Punkt - Ebene, Werte nicht mehr im Kopf berechenbar

Zitat:

Original von dr.mave

$\begin{eqnarray*} E: (\vec x-\begin{pmatrix} e^{2} \\ e \\ 2 \end{pmatrix} )\begin{pmatrix} \frac{2}{e^{2} } \\ \frac{-2}{e} \\ -1 \end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$

das ist erst die Normalenform.

warum nach t auflösen ? Setze doch gleich den Punkt in die Hessesche Abstandsformel ein:

$\begin{eqnarray*} \left(\ \begin{pmatrix} e^{2} \\ e \\ 0 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} e^{2} \\ e \\ 2 \end{pmatrix} \right)\cdot \begin{pmatrix} \frac{2}{e^{2} } \\ \frac{-2}{e} \\ -1 \end{pmatrix}^{(0)}=d \end{eqnarray*}$

das hoch Null soll der Einheitsvektor sein.

Und die Differenz der Vektoren am Anfang vereinfacht das Ganze deutlich.

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