Ebene - Schnittpunkte, Neigungswinkel berechnen

08.07.2013, 21:29

FaelltNixEin

Ebene - Schnittpunkte, Neigungswinkel berechnen

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich habe mal wieder ein paar Probleme mit einer Aufgabe:

Gegeben sei eine Ebene E durch den Punkt A(1|-1|2), B(2|1|8) und C(-1|-2|2).

a) Geben Sie eine Paramterform dieser Ebene an.
b) Wandeln sie diese Parameterform in eine Koordinatengleichung um, indem Sie die Parameter eliminieren!
c) Überprüfen Sie, ob der Punkt D(3|3|7) in der Ebene E liegt!

d) Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Ebene E mit den Koordinatenachsen und zeichen Sie das die Lage der Ebene veranschaulichende Dreieck in ein geeignetes Koordinatensystem!

e) Bestimmen Sie den Neigungswinkel $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ der Ebene E gegen die $\begin{eqnarray*} x_1/x_2 \end{eqnarray*}$ -Ebene!

und noch ein paar weitere, aber ich glaube das reicht erstmal. O,o

Meine Ideen:
a) - c) habe ich glaube ich gelöst:

a) Meine Ebenengleichung lautet:
$\begin{eqnarray*} E : \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + r * \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Daraus die Parameterform:

(I) $\begin{eqnarray*} x_1 = 1 + r - 2s \end{eqnarray*}$
(II) $\begin{eqnarray*} x_2 = -1 + 2r - s \end{eqnarray*}$
(III) $\begin{eqnarray*} x_3 = 2 + 6r - 0s \end{eqnarray*}$

b)
1. 2 * (II) - (I)
ergibt die neue Gleichung: (IV) $\begin{eqnarray*} 2x_2 - x_1 = -3 + 3r \end{eqnarray*}$

2. 2 * (IV) - (III)
ergibt die Koordinatengleichung: $\begin{eqnarray*} 2*(2x_2 - x_1)-x_3 = -8 \end{eqnarray*}$

c)
Um zu überprüfen, ob der Punkt D(3|3|7) in der Ebene liegt, habe ich die Koordinaten des Punktes in die Koordinatengleichung gesetzt:

2*((2*3)-3)-7 = -1

$\begin{eqnarray*} -1 \neq -8 \end{eqnarray*}$ also liegt der Punkt nicht in der Ebene.

Stimmt das soweit? Denn jetzt komme ich nicht mehr weiter. unglücklich

Würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte smile

08.07.2013, 21:42

Bürgi

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RE: Ebene - Schnittpunkte, Neigungswinkel berechen
Hallo,

1. Deine bisherigen Ergebnisse sehen gut aus! Freude

2. Zur Bestimmung der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen:

Bei allen Punkten auf der $\begin{eqnarray*} x_1-Achse \end{eqnarray*}$ sind die x_2- und die x_3-Koordinate null. Setze also $\begin{eqnarray*} x_2 = x_3 = 0 \end{eqnarray*}$ in die Ebenengleichung ein und Du erhältest den Schnittpunkt mit der $\begin{eqnarray*} x_1-Achse \end{eqnarray*}$ .

3. Der Winkel zwischen zwei Ebenen stimmt mit dem Winkel ihrer Normalenvektoren überein.

08.07.2013, 23:02

FaelltNixEin

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Vielen Dank für die schnelle Antwort!

verwirrt

Zu d) meinst Du so:

$\begin{eqnarray*} E : \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r * \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

?
Dann wäre der Schnittpunkt mit der x_1-Achse: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber wie bestimme ich nun den Schnittpunkt mit der x_2 bzw. x_3-Achse? Und wie gehe ich beim zeichnen des Dreiecks vor? Oder ergibt sich das Dreieck dann aus den 3 Schnittpunkten mit den x-Achsen?

Zu e): Habe etwas gestöbert und bin auf folgendes gestoßen:
Die x_1/x_2-Ebene kann man durch ihren Normalenvektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ angeben.

Also (mit r) : $\begin{eqnarray*} cos \gamma = \frac{1 * 0 + 2 * 0 + 6 * 1 }{\sqrt {?} * \sqrt{?}} \end{eqnarray*}$

Nun hänge ich aber irgendwie wieder fest... unglücklich

09.07.2013, 00:15

mYthos

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Punkte auf den Achsen haben immer 0 bei zwei Koordinaten.
(1; 2; 6) ist NICHT der Normalvektor der Ebene.
Im Nenner stehen die Beträge der Vektoren.

Aus der Koordinatenform kann man übrigens direkt die Achsenschnittpunkte berechnen. Bringe dazu die Koordinatengleichung auf 1 auf der rechten Seite:

$\begin{eqnarray*} \frac {x_1} {a_1} + \frac {x_2} {a_2} + \frac {x_3} {a_3} = 1 \end{eqnarray*}$ .. Achsenabschnittsform

Die Achsenschnittpunkte lauten dann $\begin{eqnarray*} (a_1; 0; 0), \ (0; a_2; 0) \text{ und } (0; 0; a_3) \end{eqnarray*}$
Das gesuchte Dreieck entsteht aus den Verbindungslinien dieser drei Punkte.

mY+

09.07.2013, 08:52

Bürgi

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Zitat:

Nein, so meinte ich das nicht.

Eine Deiner möglichen Ebenengleichungen ist:

$\begin{eqnarray*} E: -2x_1+4x_2-x_3=-8 \end{eqnarray*}$

Wenn Du nun $\begin{eqnarray*} x_2=x_3=0 \end{eqnarray*}$ einsetzt, erhältst Du die $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ -Koordinate des Schnittpunktes der Ebene mit der $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ -Achse.

09.07.2013, 20:52

FaelltNixEin

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Vielen Dank für Eure Antworten!
verwirrt

Ich habe also die Koordinatengleichung $\begin{eqnarray*} E: -2x_1+4x_2-x_3=-8 \end{eqnarray*}$

Nun setzte ich um den Schnittpunkt mit der x_1-Achse zu berechnen x_2 und x_3 = 0

Bleibt also:

$\begin{eqnarray*} -2x_1 = -8 \end{eqnarray*}$ | :-2
$\begin{eqnarray*} x_1 = 4 \end{eqnarray*}$

Der Schnittpunkt mit der x_1-Achse wäre dann also: (4|0|0)

Und für die x_2-Achse dann x_1 und x_3 = 0 setzten? :

$\begin{eqnarray*} 4x_2 = -8 \end{eqnarray*}$ |: 4
$\begin{eqnarray*} x_2 = -2 \end{eqnarray*}$

Schnittpunkt mit der x_2 Achse wäre also: (0|-2|0)

Und schließlich für die x_3-Achse x_2 und x_1 = 0 setzen:

$\begin{eqnarray*} -x_3 = -8 \end{eqnarray*}$ |:-1
$\begin{eqnarray*} x_3 = 8 \end{eqnarray*}$

Schnittpunkt mit der x_3-Achse wäre dann (0|0|8)

Zu e):
Der Normalenvektor der x_1,2 Ebene ist (0|0|1)
Und den Normalenvektor der Ebene E lässt sich aus der Koordinatenform ablesen oder? Also (-2|4|-1)

( Oder muss ich den doch mit dem Kreuzprodukt erst bilden? )

$\begin{eqnarray*} cos \gamma = \frac{-2 * 0 + 4 * 0 + -1 * 1 }{\sqrt {1} * \sqrt{21}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cos \gamma = 102,60° \end{eqnarray*}$

Mit Kreuzprodukt käme ich auf den Normalenvektor:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -12 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und dann dementsprechend auf:
$\begin{eqnarray*} cos \gamma = \frac{6 * 0 + -12 * 0 + -3 * 1 }{\sqrt {1} * \sqrt{189}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cos \gamma = 102,60° \end{eqnarray*}$ (Huch, selbes Ergebnis?)

Bin ich damit auf dem richtigen Weg?

Würd mich freuen, wenn nochmal jemand helfen könnte. smile

10.07.2013, 08:21

Bürgi

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Guten Morgen,

das sieht sehr gut aus! Freude

Noch 2 Anmerkungen:

1. Mit mYthos Hinweis, die Achsenabschnittsform zu benutzen, hättest Du Dir einige Rechnungen ersparen können:

$\begin{eqnarray*} E: -2x_1+4x_2-x_3=-8~|~(-8) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E: \frac{x_1}{4}+\frac{x_2}{-2}+\frac{x_3}{8}=1 \end{eqnarray*}$

Die Achsenschnittpunkte mit der Ebene lassen sich nun direkt ablesen.

2. Wegen

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ -12 \\ 3 \end{pmatrix} = (-3) \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

hat sich offensichtlich die Richtung des Normalenvektors nicht geändert, also bleibt auch der Wert für den eingeschlossenen Winkel unverändert.

10.07.2013, 12:06

mYthos

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Natürlich ist NICHT

$\begin{eqnarray*} \cos \gamma = 102.60° \text{ sondern } \gamma = 102.6° \end{eqnarray*}$

Solches wird von machen Lehrern als grober Fehler gewertet.

mY+

10.07.2013, 22:08

FaelltNixEin

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Vielen Dank für Eure Korrekturen! smile

Nun habe ich noch das für Afg. d) geforderte Dreieck gezeichnet (Siehe Anhang) ich hoffe, da habe ich keinen Fehler gemacht. O.o

Auf die Gefahr hin, dass es langsam etwas unübersichtlich wird, habe ich nun noch eine Aufgabe bei deren Lösung ich mir nicht ganz sicher bin:

f) Bestimmen Sie den Schnittpunkt S der Ebene E mit der Gerade g, die durch die Punkte P(2 | 1 | 2) und Q(1 | 0 | 1) verläuft.

Meine Lösung:

Erstmal habe ich die Geradengleichung aufgestellt: $\begin{eqnarray*} g : \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + a * \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann die Punktkoordinaten in die Koordiantengleichung eingesetzt:

-2 * (2 + a) + 4 * (1 + 0a) + -1 * (2 + a) = -8

-4 + 2a + 4 + (-2) + (-a) = -8

Zusammengefasst u. geordnet: -3a + -2 = -8

Und nun nach a aufgelößt:

3a = -6
a = 2

Und nun a = 2 in die Geradengleichung eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} g : \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + 2 * \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So komme ich auf den Schnittpunkt: S (4 | 1 | 4)

Stimmt die Rechnung?

Würd mich freuen, wenn nochmal jemand helfen könnte smile

10.07.2013, 22:19

Bjoern1982

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Ebene sollte passen.
Geradengleichung durch P und Q stimmt nicht, als Richtungsvektor musst du den Vektor von P nach Q nehmen und nicht einfach den Ortsvektor zu Q.

10.07.2013, 23:47

FaelltNixEin

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Danke für deine Antwort!

Hupps.. Hammer

Nach Korrektur komme ich auf den Ortsvektor (P-Q) $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und damit auf a = -6

Und letztendlich auf den Schnittpunkt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?

11.07.2013, 13:40

mYthos

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Japp!

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