Knobelaufgabe: Modulo - großer Exponent

09.07.2013, 01:27	MCarlsen	Auf diesen Beitrag antworten »
Knobelaufgabe: Modulo - großer Exponent Guten Abend. Finden Sie ein $\begin{eqnarray} x \in \mathbb Z_n \end{eqnarray}$ mit den folgenden Eigenschaften und begründen Sie ihr Ergebnis. 1. n = 5, $\begin{eqnarray} x \equiv 2^{178476213384798234203} \end{eqnarray}$ (mod 5) Ansatz: Also der Exponent macht mir Angst Gibt es da einen Trick? Muss ich mir vielleicht nur die letzte Stelle des Exponenten anschauen? Also die 3? Und dann für 2^3 prüfen? Was wäre euer Ansatz? Oder könnt Ihr mir vielleicht einen Tipp geben? mfG
09.07.2013, 07:10	alterHund	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 2^n~mod~5 \end{eqnarray}$ ist periodisch, es gibt ja nur 5 Werte
09.07.2013, 08:44	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Genauer gesagt 4 Werte, die 0 ist nicht möglich. Vor allem ist $\begin{eqnarray} 2^n = 2^{n\!\!\!\!\mod 4}\!\!\!\!\mod 5 \end{eqnarray}$ . Das muss man natürlich beweisen.
13.07.2013, 11:52	MCarlsen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo und vielen Dank für eure Antworten. 2^0 = 1 \| 1 mod 5 = 1 2^1 = 2 \| 2 mod 5 = 2 2^2 = 4 \| 4 mod 5 = 4 2^3 = 8 \| 8 mod 5 = 3 2^4 = 16 \| 16 mod 5 = 1 Das ist also die Periodizität. Aber wie mache ich weiter? Den Ansatz von RavenOnJ habe ich leider nicht verstanden.
13.07.2013, 12:11	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe die Periodizität nur etwas stringenter formuliert. Das sollte heißen, wenn du ausrechnest $\begin{eqnarray} 2^n \!\!\!\! \mod 5 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 2^r \!\!\!\! \mod 5 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n = r \!\!\!\! \mod 4 \end{eqnarray}$ , dann erhältst du dasselbe Ergebnis. $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ ist nichts weiter als der Rest, wenn man $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ durch 4 teilt. Die Beziehung ist einfach zu beweisen, wenn man die Rechenregeln für Restklassenringe im Ring $\begin{eqnarray} \mathbb Z_5 \end{eqnarray}$ beachtet (der sogar ein Körper ist, was hier aber nebensächlich ist).

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