Summe Konvergenz

09.07.2013, 10:51

hoernchen

Summe Konvergenz

Meine Frage:
Hallo,

ich soll feststellen, ob die folgende Summe konvergiert oder divergiert. Ich weiß, dass sie konvergiert. Jedoch weiß ich nicht, wie ich darauf komme. Ich bekomme es nicht hin das Majorantenkriterium anzuwenden, da ich es nicht hinbekomme, die Summe zu vergrößern, sondern nur zu verkleinern.
Vielleicht hat jemand einen Tipp für mich?

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \frac{(n^{4}-2) ^{\frac{1}{3} } }{\ (2n^{5}-2n+1) ^{\frac{1}{2} } } \end{eqnarray*}$

09.07.2013, 17:27

Che Netzer

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RE: Summe Konvergenz
Überprüf erstmal deine Darstellung der Reihe.

10.07.2013, 11:45

hoernchen

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RE: Summe Konvergenz
Oups, also so sieht die Reihe aus

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(n^{4}-2) ^{\frac{1}{3} } }{\ (2n^{5}-2n+1) ^{\frac{1}{2} } } \end{eqnarray*}$

Trotzdem weiß ich nicht wies geht.

10.07.2013, 12:01

Theend9219

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RE: Summe Konvergenz
hHey, ich glaube Che Netzer meinte die darstellung von $\begin{eqnarray*} x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x} \end{eqnarray*}$

10.07.2013, 12:05

Ploki

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RE: Summe Konvergenz
Mit dem Wurzel- oder Quotientenkriterium kommt man anscheinend nicht weiter. Man müsste eine ähnliche Reihe finden, die auch konvergiert.

Was fällt dir auf, wenn du Zähler und Nenner für große n vergleichst?

10.07.2013, 12:46

hoernchen

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RE: Summe Konvergenz
Achso, ich wusste nicht, wie man die dritte Wurzel in den Formeleditor eingibt. Also habe ich es eben so eingegeben.

Ploki, meinst du mit große n, die n mit den höheren Exponenten? Könnte man also die Summe mit der Summe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{n^{\frac{7}{6} } } \end{eqnarray*}$ vergleichen?

10.07.2013, 12:57

Ploki

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RE: Summe Konvergenz
Ich weiß nicht wie du auf diese Darstellung kommst.

Was wächst denn für sehr große n viel schneller? Der Zähler oder der Nenner?

10.07.2013, 13:04

hoernchen

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RE: Summe Konvergenz
Ich habe mir einfach die Summe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{\sqrt[3]{n^{4} } }{\sqrt{n^{5} } } \end{eqnarray*}$ . Dachte mir aber schon, dass das nicht so einfach gehen kann..

Der Nenner wächst schneller.

10.07.2013, 13:21

Ploki

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RE: Summe Konvergenz
Wenn du versucht hast das Majorantenkriterium anzuwenden, ist diese Abschätzung falsch, da du den Nenner vergrößert hast.

Der Nenner wächst viel schneller als der Zähler bei großen n, richtig! Und was sagt uns das normalerweise?

Ich habe aber eben bemerkt, dass wir für n = 1 Probleme bekommen werden. Bist du dir sicher, dass du die Reihe richtig aufgeschrieben hast?

10.07.2013, 13:49

hoernchen

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RE: Summe Konvergenz
Ja, ich weiß, dass diese Abschätzung nicht stimmt, mir ist nur nichts anderes eingefallen. Das ist aber wohl auch eher die falsche Methode, um eine Aufgabe zu lösen...

Die Aufgabe stimmt so, habe nochmal nachgeschaut.

Wenn der Nenner bei großen n viel schneller wächst als der Zähler, bedeutet das, dass die Summe gegen Null konvertiert?

10.07.2013, 14:40

Ploki

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RE: Summe Konvergenz
Es sollte funktionieren, wenn man das Majorantenkriterium richtig anwendet. Bin aber auch zu keiner sinnvollen Abschätzung gekommen. Für eine gröbere Abschätzung reicht es vorerst zu sagen, dass der Nenner viel schneller wächst für große n und deshalb die Reihe konvergiert. (Sollte aber nur eine Notlösung sein). Vielleicht hat ja sonnst noch jemand am Board eine Idee?

(Mich verwirrt dennoch der Fall n=1)

10.07.2013, 15:47

HAL 9000

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Ihr müsst euch nicht tiefschürende und trickreiche Abschätzungen ausdenken - es geht auch viel banaler. Zunächst das Rausziehen der höchsten Potenzen:

$\begin{eqnarray*} \frac{(n^4-2)^{\frac{1}{3}}}{(2n^5-2n+1)^{\frac{1}{2}}} = \frac{n^{\frac{4}{3}}\cdot (1-2n^{-4})^{\frac{1}{3}}}{n^{\frac{5}{2}}\cdot (2-2n^{-4}+n^{-5})^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{n^{\frac{7}{6}}} \cdot \frac{(1-2n^{-4})^{\frac{1}{3}}}{(2-2n^{-4}+n^{-5})^{\frac{1}{2}}} \end{eqnarray*}$

Beim zweiten Faktor ist lediglich wichtig, dass er für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ gegen eine positive reelle Zahl $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ konvergiert, d.h. nach Grenzwerteigenschaften erhält man u.a. auch, dass es eine Zahl $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ gibt, so dass

$\begin{eqnarray*} 0 < \frac{(1-2n^{-4})^{\frac{1}{3}}}{(2-2n^{-4}+n^{-5})^{\frac{1}{2}}} < 2a \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$

gilt. Und mehr wird für das Majorantenkriterium nicht benötigt.

Zitat:

Original von Ploki
(Mich verwirrt dennoch der Fall n=1)

Sowas kannst du knicken: Endlich viele Glieder am Anfang spielen nicht die geringste Rolle bei der Entscheidung Konvergenz/Divergenz. Es ist müßig, sich daran aufzuhalten.

14.07.2013, 09:16

hoernchen

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Vielen Dank Euch beiden!

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