Konvergenz Folgen Aussagen Wahr/Falsch

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Araschi Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz Folgen Aussagen Wahr/Falsch
Hallo,

habe leider folgendes Problem und zwar kann ich wirklich kein Mathe, da dies aber für das Studium benötigt wird und das mein letzter Schein ist den ich brauche hoffe ich auf eure Hilfe. Ich muss morgen früh in die Mündliche und habe noch einige Fragen offen. Wärt ihr so nett und könntet mir ein bisschen helfen ?

Zum einen habe ich foglende Fragen

1. Wenn es eine epsilon Umgebung von 1 gibt, in der Kein Glied der Folge (an) liegt, so kann die Folge (an) nicht konvergent sein.

Da hätte ich Richtig getippt da endlich viele Folgeglieder außen liegen können und unendlich viele Folgeglieder innerhalb der Epsilon Umgebung liegen müssen? Ist das Richtig ?

2. Wenn in der E Umgebung von 1 mit Epsilon = 0,5 fast alle Glieder einer Folge (an) liegen, so konvergiert die Folge (an) gegen 1.

Da habe ich auch richtig eine Folge (an) konvergiert genau dann gegen 1 wenn in jeder E Umgebung Ue(1) fast alle Glieder der Folge liegen ?

3. Wenn in jeder E Umgebung von 1 unendlich viele Glieder einer Folge (an) liegen so konvergiert die Folge (an) gegen 1.

Keine Ahnung wenn ich ehrlich bin smile
*
Würde mich freuen wenn ihr mir helfen könntet.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz Folgen AUSSAGEN Wahr/Falsch
Zitat:
Original von Araschi
1. Wenn es eine epsilon Umgebung von 1 gibt, in der Kein Glied der Folge (an) liegt, so kann die Folge (an) nicht konvergent sein.

Da hätte ich Richtig getippt da endlich viele Folgeglieder außen liegen können und unendlich viele Folgeglieder innerhalb der Epsilon Umgebung liegen müssen? Ist das Richtig ?

Natürlich kann die Folge konvergent sein, nur nicht gegen 1. smile

Zitat:
Original von Araschi
2. Wenn in der E Umgebung von 1 mit Epsilon = 0,5 fast alle Glieder einer Folge (an) liegen, so konvergiert die Folge (an) gegen 1.

Da habe ich auch richtig eine Folge (an) konvergiert genau dann gegen 1 wenn in jeder E Umgebung Ue(1) fast alle Glieder der Folge liegen ?

Die Betonung liegt auf "jeder". Und wieviel epsilon-Umgebungen hast du, in der fast alle Folgenglieder liegen? Gerade mal eine.

Zitat:
Original von Araschi
3. Wenn in jeder E Umgebung von 1 unendlich viele Glieder einer Folge (an) liegen so konvergiert die Folge (an) gegen 1.

Keine Ahnung wenn ich ehrlich bin smile

Und genau das wäre die Anwendung der Konvergenz-Definition. smile
EDIT: dazu ergänzend: für Konvergenz müssen aber fast alle Folgenglieder in jeder epsilon-Umgebung enthalten sein. Wie das Beispiel von Nick1 zeigt, reichen unendlich viele Folgenglieder nicht.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz Folgen AUSSAGEN Wahr/Falsch
Zitat:
Original von Araschi
1. Wenn es eine epsilon Umgebung von 1 gibt, in der Kein Glied der Folge (an) liegt, so kann die Folge (an) nicht konvergent sein.

Da hätte ich Richtig getippt da endlich viele Folgeglieder außen liegen können und unendlich viele Folgeglieder innerhalb der Epsilon Umgebung liegen müssen? Ist das Richtig ?

Das stimmt so nicht. Richtig ist nur: Die Folge kann dann nicht gegen 1 konvergieren. Gegen jeden anderen Wert kann sie aber konvergieren.


Zitat:
Original von Araschi
2. Wenn in der E Umgebung von 1 mit Epsilon = 0,5 fast alle Glieder einer Folge (an) liegen, so konvergiert die Folge (an) gegen 1.

Da habe ich auch richtig eine Folge (an) konvergiert genau dann gegen 1 wenn in jeder E Umgebung Ue(1) fast alle Glieder der Folge liegen ?

Stimmt auch nicht. Wie du richtig gesagt hast, konvergiert eine Folge genau dann gegen einen Grenzwert a, wenn in jeder -Umgebung von a fast alle Folgenglieder liegen. Hier weißt du aber nur nur, dass das für ein konkretes gilt, (nämlich 0,5), kannst aber keine Aussage darüber treffen, was bei einem anderen passiert. Man kann nur sagen: Wenn die Folge konvergiert, dann liegt der Grenzwert im Intervall Es ist allerdings auch möglich, dass die Folge gar nicht konvergiert.


Zitat:
Original von Araschi
3. Wenn in jeder E Umgebung von 1 unendlich viele Glieder einer Folge (an) liegen so konvergiert die Folge (an) gegen 1.

Keine Ahnung wenn ich ehrlich bin smile

Das ist falsch. Betrachte z.B. die Folge




Oh, zu spät...
Araschi Auf diesen Beitrag antworten »

Zu Aufgabe 1, warum kann den die Folge nicht gegen 1 konvergieren ?
Araschi Auf diesen Beitrag antworten »

Die letztere habe ich verstanden, wenn man mit der Folge an = (-1)^n arbeitet alterniert diese und hat auch negative vorzeichen deswegen kann sie nicht gegen 1 konvergieren oder ?
Araschi Auf diesen Beitrag antworten »

Da wir gerade bei Konvergenz sind,

ich habe eine Reihe wie folgt :

unendlich
Summe (1- 1/10^3)^k
k = 0
das ist ja eine geometrische Reihe mit q = 1 - 1/10^3
Sie ist konvergent weil |q| < 1 oder ? und der Grenzwert wird mit 1/1-q berechnet und ergibt 0,001 ? Ist das richtig ?


Welche Reihe ist das hier dann ?

unendlich
summe (1 - 1/10^k)^3
k = 0

Vielen Dank für die Hilfe
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Araschi
Zu Aufgabe 1, warum kann den die Folge nicht gegen 1 konvergieren ?

Wenn die Folge gegen 1 konvergieren würde, müßten in jeder epsilon-Umgebung um 1 fast alle Folgenglieder liegen. Das steht im Widerspruch zu der Eigenschaft, daß es eine Umgebung um 1 gibt, in der sich keine Folgenglieder befinden.

Zitat:
Original von Araschi
Die letztere habe ich verstanden, wenn man mit der Folge an = (-1)^n arbeitet alterniert diese und hat auch negative vorzeichen deswegen kann sie nicht gegen 1 konvergieren oder ?

Das ist etwas wachsweich begründet. Ich kann dir auch eine Folge mit negativen Folgengliedern konstruieren, die aber dennoch gegen 1 konvergiert. Entscheidend ist, daß es epsilon-Umgebungen um 1 gibt, so daß außerhalb dieser epsilon-Umgebungen unendlich viele Folgenglieder liegen.

Zitat:
Original von Araschi
ich habe eine Reihe wie folgt :

unendlich
Summe (1- 1/10^3)^k
k = 0
das ist ja eine geometrische Reihe mit q = 1 - 1/10^3
Sie ist konvergent weil |q| < 1 oder ? und der Grenzwert wird mit 1/1-q berechnet und ergibt 0,001 ? Ist das richtig ?

Du meinst ?

Ja, das ist eine geometrische Reihe und der Grenzwert ist 1/(1-q) . Allerdings ist das Ergebnis 0,001 falsch. Kann man auch leicht daran erkennen, daß der erste Summand 1 ist und die Summe nur aus positiven Summanden besteht.

Zitat:
Original von Araschi
Welche Reihe ist das hier dann ?

unendlich
summe (1 - 1/10^k)^3
k = 0

ist auch eine nette Reihe, bei der man sich mal überlegen sollte, ob die Summanden gegen Null konvergieren. smile
Araschi Auf diesen Beitrag antworten »

bei der ersten Reihe ist das aber rausgekommen also wenn ich 1 - 1/10^3 ausgerechnet habe kam 0,001 raus ?

Was heisst es den wenn die Summanden gegen 0 konvergiert ?
Araschi Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich in der letzten Reihe Werte einsetzte gehen sie eher näher an 1 an gehen sie dann nicht gegen 1 ?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Araschi
bei der ersten Reihe ist das aber rausgekommen also wenn ich 1 - 1/10^3 ausgerechnet habe kam 0,001 raus ?

Also bei mir ist 1 - 1/10^3 = 0,999 . Was du dann bei der Formel 1/(1-q) gerechnet hast, mußt du selber wissen.

Zitat:
Original von Araschi
Was heisst es den wenn die Summanden gegen 0 konvergiert ?

Das ist nun mal die notwendige Voraussetzung für die Konvergenz einer Reihe. Konvergieren die Summanden nicht gegen Null, kann die Reihe nicht konvergieren.

Zitat:
Original von Araschi
Wenn ich in der letzten Reihe Werte einsetzte gehen sie eher näher an 1 an gehen sie dann nicht gegen 1 ?

Ja, die Summanden konvergieren gegen 1.
Araschi Auf diesen Beitrag antworten »

Also bei mir ist 1 - 1/10^3 = 0,999 . Was du dann bei der Formel 1/(1-q) gerechnet hast, mußt du selber wissen.

--> Ja da hast du recht da werde ich wohl was falsch gemacht haben unglücklich

Das ist nun mal die notwendige Voraussetzung für die Konvergenz einer Reihe. Konvergieren die Summanden nicht gegen Null, kann die Reihe nicht konvergieren.

--> Okay das habe ich jetzt verstanden


Ja, die Summanden konvergieren gegen 1

--> Okay, wenn ich das beweisen soll das sie nicht konvergent ist, reicht es sicherlich nicht das ich einfach schreibe ich habe werte eingesetzt und sie gehen gegen null.- Gibt es da einen einfachen satz der das beweist?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Araschi
--> Okay, wenn ich das beweisen soll das sie nicht konvergent ist, reicht es sicherlich nicht das ich einfach schreibe ich habe werte eingesetzt und sie gehen gegen null.- Gibt es da einen einfachen satz der das beweist?

Wie gesagt: zeige daß die Summanden nicht gegen Null konvergieren. Am einfachsten machst du das, indem du zeigst, daß die Summanden gegen 1 konvergieren.
Araschi Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz dumme Frage wie zeige ich das die Summanden gegen 1 konvergieren ?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zeige oder nutze, daß ist. Der Rest ist Anwendung von Grenzwertsätzen.
Araschi Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich dann einfach sagen wenn 1/10^k+1 das die Werte gegen 1 konvergieren ?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll denn "wenn 1/10^k+1" für eine Aussage bzw. Begründung sein? verwirrt
Araschi Auf diesen Beitrag antworten »

Das bei wachsenden k der Wert gegen 1 geht ?
Araschi Auf diesen Beitrag antworten »

Oh man ich glaube einfach das ich nicht weiß wie ich das beweisen sollte ? Eigentlich ist es ja klar aber ich kann es halt nicht zeigen beziehungsweise meinen prof morgen in der mündlichen erklären warum das so ist
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Einen simplen Grenzwert einer Folge solltest du so kurz vor einer Prüfung aber schon bestimmen können. unglücklich

und mit folgt . Die Grenzwertsätze erledigen dann den Rest.
Araschi Auf diesen Beitrag antworten »

Danke smile

Ja mich wundert es nicht das ich in die Mündliche Prüfung muss, da dieses Thema wirklich sehr schwierig zu Verstehen ist zumindest für mich smile


Aber vielen Dank für die Hilfe
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