p-q-Formel in "einfach" |
| 09.07.2013, 13:04 | W2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| p-q-Formel in "einfach" -p/2 +/- Wurzel( (p/2)² - q) hat folgenden Hintergrund: ... tbc... |
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| 09.07.2013, 13:25 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was genau ist das Problem hier? Mir sieht das nicht nach einer Frage aus?! |
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| 09.07.2013, 13:34 | W2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
... ich wurde unlängst wieder von vielen bestürmt, die p-q-Formel zu erklären. Sie scheint ein fester Bestandteil des Mathe-Unterrichts, Sek2, .. die Schüler wissen, dass sie damit Nullstellen bestimmen können, sie wissen aber nicht wie es dazu kommt. Ich habe meine Erklärungsmethode verglichen mit Internetseiten und verwundert festgestellt, dass anschauliche Beschreibungen außer Mode sind oder nicht mehr im Bewusstsein. Also Schüler: ... die oben benannte p-q-Formel ist nichts anderes, als dass mit zwei festen Werten zwei einfache Rechnungen durchgeführt werden: 1.) Wert_1 - Wert_2 2.) Wert_1 + Wert_2 Wert_1 ist die x-Koordinate des Scheitelpunktes, Wert_2 ist die Wurzel der y_Koordinate des Scheitelpunktes der Parabel (mit umgekehrtem Vorzeichen). siehe Bild oben. (Dies gilt zunächst nur für Parabeln ohne Streckung und Stauchung ("spitze/ flache" Parabeln). Die Koordinaten des Scheitelpunktes könnt ihr direkt aus der sogenannten Scheitelpunktform lesen: Beispiel: f(x) = (x-2)² - 9 => => Scheitelpunkt (2|-9) (der x-Wert hat immer das gegenteilige Vorzeichen) => Nullstellen: x1 = 2 - Wurzel(9) ...................... x2 = 2 + Wurzel(9) (hier nimmt man wiederum für die y-Koordinate das gegenteilige Vorzeichen) Wie man sieht: Wert_1 - Wert_2 und Wert_1 + Wert_2 Schüler würden an dieser Stelle antworten: "Ja super, wie wandle ich denn um von der einen Form in die andere, die Scheitelpunktform?" Die Schritte, die man dabei macht, erklären letztlich die p-q-Verwendung. Ich möchte sie hier nicht erwähnen, es ging mir nur um den grundlegenden Gedanken, der im Bild oben hoffentlich deutlich wird. (ich schreibe die Umformung dennoch: x²+px+q = (x+p/2)²+(p/2)²-q) gruß W2 |
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| 09.07.2013, 13:37 | W2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Mazze das Problem ist eher didaktischer Natur... Ergänzung: In Gesprächen mit Mathe-Lehrern fällt auf, dass die Nullstellenberechnung per p-q-Formel ohne anschaulichen Hintergrund vermittelt wird, dasselbe Bild zeigt sich bei Internetrecherchen. Ich stelle die Frage zur Diskussion, welche Herangehensweise didaktisch besser ist, ... ich bin allerdings nicht sicher ob ich das hier darf Gruß W2 |
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| 09.07.2013, 14:48 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da haben sich Vorzeichenfehler eingeschlichen. 
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| 09.07.2013, 14:50 | Theend9219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, aber wo ist denn da nun eine Frage?..Du erklärst lediglich, was andere nicht wissen ohne jedoch Aufmerksamkeit darauf zu legen, was du nicht weist. Und ob etwas didaktisch ist, lässt sich doch nur an mehreren Faktoren unterscheiden.. |
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| 09.07.2013, 16:04 | W2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@sulo sorry, es hätte heißen miüssen: x²+px+q = (x+p/2)²-(p/2)²-q) rechnerisch kommts so hin, (.. ich hoffe es deckt sich mit mit d. allgem. Definition) @Theed9219 ... die Frage ist: Wieso wird die p-q-Formel und deren Beherrschung so "hoch gehängt", während die anschauliche Grundlage, die zur p-q-Formel führt, scheinbar in den Hintergrund tritt, oft garnicht erwähnt wird. Gibt es einen Grund die p-q-Formel voran zustellen, bzw. die anschuliche Herleitung wegzulassen. Liegt es vielleicht daran, dass man in der Physik, den Ingeneurswissenschaften tatsächlioch eher p- und q-Werten begegnet, lange bevor man näheres über den Verlauf einer Kurve weiß? Macht es nicht Sinn Schülern zunächst eine Normal-Parabel zu zeigen f(x)=x² danach eine verschobene f(x)=x² + y-versatz f(x)=(x+ x-versatz)² um daran zu zeigen wie der Scheitelpunkt wandert. (Eventuell dann Stauchung und Streckung durch Steigungsfaktor m, den die Schüler meist noch vom vorherigen Thema "linearer Gleichungen" kennen) Über diesen Weg versteht der Schüler die Scheitelpunktform , als Darstellung einer Parabeln inklusive Angaben zum Scheitelpunkt. Wenn dieser leicht verstehbare Grundsetin gelegt ist, fällt die p-q-Formel mit Hilfe des obigen Bildes leichter. Vielleicht ist hier nicht der richtige Ort für solche Fragen, ich ärgere mich in meiner Arbeit oft über Lehrerdidaktik, Physik, Mathematik und Chemie ist oft ein Übersetzungsproblem, logisches Verständnis und Erkenntnis haben die meisten Schüler. Gruß W2 |
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| 09.07.2013, 16:55 | Theend9219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also in den Rahmenrichtlinien für die Klasse 9 des Landes Sachsen-Anhalt Gymnasium ist es enthalten: grafisches Lösen quadratischer Gleichungen |
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| 09.07.2013, 18:46 | Christian_P | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, ja p-q-Formel in einfach. hhmmm. Also ich bin ja der Meinung, dass es besser wäre, das Thema unter einem allgemeineren Gesichtspunkt zu betrachten, nämlich dem Problem des Lösens von Gleichungen allgemein, also Gleichungen der Form f(x)=0, mit nur einer Variablen und einer beliebigen Funktion f. In den Anwendungen wird man später neben diesem einfachen Fall oft auch ein System aus nicht linearen Gleichungen mehrerer Veränderlicher zu lösen haben. Die p-q-Formel ist ja auch nur ein Mittel eine quadratischen Gleichung zu lösen. Noch besser wäre es dies mit der Methode der quadratische Ergänzung zu machen. Diese Methode führt auch später bei Kreisgleichungen etc. zum Ziel, wenn man diese wieder in die Standardform bringen muss. Es ist also gut wenn man das kann. Außerdem hat man so nebenbei gleich die Herleitung erlernt, das ist eh am besten. Grundsätzlich finde ich grafische Veranschaulichen und Herleitungen gut, aber man muss bedenken, dass man sich da auch mehr Ballast mit herein holt. Der Schüler muss dann nicht nur die Formel können, sondern er muss auch die Herleitung anhand einer Figur erlernen. Wenn das auf einmal kommt, wird's vielleicht schwierig. Es besteht jedenfalls auch immer die Möglichkeit sich von jeder Veranschaulichung freizumachen und die Gleichung nur analytisch zu betrachten. nur ein paar Gedanken dazu 
Gruß |
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| 09.07.2013, 20:47 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Stimmt immer noch nicht. Davon abgesehen ist die Klammer hinter dem q überflüssig.
Die pq-Formel wird in der Schule über die quadratische Ergänzung eingeführt, im Prinzip so, wie es Wiki hier zeigt. Sie ist also nichts anderes als eine Zusammenfassung der quadratischen Ergänzung als Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen. Und diese quadratische Ergänzung lernen die Schüler meist als erste Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen kennen. Die Einführung der pq-Formel geschieht also durchaus durchdacht und didaktisch sinnvoll.
Auch das Wandern des Scheitelpunktes wird erklärt: Zunächst lernen die Schüler die Normalparabel kennen, danach wird der Scheitelpunkt entlang der y-Achse verschoben (y =x²+c) und entlang der x-Achse (y=(x+d)²) und wenn das verstanden worden ist, wird beides kombiniert. @Theend9219 Das graphische Lösen einer quadratischen Gleichung geschieht in der Regel mit Hilfe einer Wertetabelle. Fortgeschrittene Schüler können mit Hilfe des Scheitelpunktes und des Streckungsfaktors a ebenfalls die Parabel zeichnen und die Nullstellen ablesen.
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| 09.07.2013, 21:06 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bei uns in NRW läuft das über das Einzeichnen der Normalparabel und einer Geraden, nachdem man ggf. die Gleichung auf die Form x²=ax+b gebracht hat. |
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| 09.07.2013, 21:09 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, diese Methode habe ich vor Jahren einmal bei einer Schülerin gesehen, ansonsten nie wieder. Sie findet sich auch nicht in den hier benutzen Mathebüchern.
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| 09.07.2013, 21:52 | alterHund | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wie wär's so: |
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| 10.07.2013, 13:15 | W2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Moin, gerade der Wiki Beitrag hat mich auf dieses Thema gebracht, Bei vielen Schülern scheitert die geringe Aufmerksamkeit für Mathematik an der abstrakten Alltags-fernen Sprache. Die Interessen im Schulalltag gelten schon mal auch anderen „Fachbereichen“. Die meisten schaffen den Schritt y=m*x = Linie mit Steigung, und stolpern dann über y=a*x².. bzw. y=a(x+d)²+e. In voller Länge wird bei Wiki das Konsortium der möglicher Unbekannten auf x, a, b, c, d, e und p und q aufgebläht. Mein Vorschlag wäre f(x) = m*( (x+(-x_Versatz))² + y_Versatz) Selbstredend erst nachdem Parabelverschiebungen und „Steigung“ besprochen wurden. Viele Schüler scheitern, da der Schwerpunkt in der Klassenarbeit auf der p-q-Formel liegt und beim Selbstlernversuch bei Wiki u.a. Seiten nachgesehen wird. Das Unverstandene wird im besten Fall auswendig gelernt, was wiederum zu Anwendungsfehlern führt. Genau hierfür kann das Bild oben als logische Eselsbrücke dienen. Meiner Erfahrung nach funktioniert das; viele Schüler verwenden sie erfolgreich, wenn sie während der Mathe-Arbeit im Geiste sortieren müssen. was wohin kommt. Gruß W2 |
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| 10.07.2013, 23:46 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
aus meiner Erfahrung ist das Hauptproblem und jetzt wird hier gerne mit Wurzel argumentiert. Das kann man machen, aber der eigentliche Grund bleibt im Dunkeln. Richtig wäre hier, konsequent auf zu bestehen. Unter der Voraussetzung dass die rechte Klammer postiv ist folgt: das ist erstmal gewöhnungsbedürftig. Und jetzt noch schnell die dritte binomische Formel und den Satz vom Nullprodukt angewandt. Jeder Schüler sollte das einmal durchgerechnet haben um es hoffenlich nicht mehr zu vergessen. |
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| 11.07.2013, 00:57 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich meine damit: jede Grossklammer kann, soll Null sein --> 2 Lösungen, die man mit Wurzel zu "einer" Formel zusammenfassen kann. das kann man fasst jedem Schüler einmal in Ruhe beibringen. Er hat es dann auch eingesehen...
1-2 Wochen später: Lösung ? "na, das ist einfach:" mein Einwand: quadratische Gleichungen lösen wir doch neuerdings mit der p-q Formel 
und jetzt kommt der Klassiker #2: "Aber es gibt hier doch weder p noch q?" 
gute Frage und nun? Dann versuch' ich immer sowas wie: Dein Sparkassenkonto ist eine Formel, und dein Kontostand ist auch vorhanden, wenn er Null ist, im Gegensatz zu dem, wenn du kein Konto hättest... an dieser Stelle sorgt auch der Spruch: früher hatte ich ein Soll und Haben-Konto, jetzt nur noch ein soll gehabt haben Konto.. für etwas Entspannung. Damit ist der Übergang zu p=q=0 geebnet. Und der Klassiker #1 ? was sonst ? |
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