Produkt aus Summen

09.07.2013, 13:24

MatheTools

Produkt aus Summen

Hallo zusammen,

ich arbeite mich gerade durch ein paar alte Übungsblätter und komme bei einer Aufgabe nicht wirklich weiter.

Meine Frage:
Fur $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ beliebige positive Zahlen $\begin{eqnarray*} a_{1}, ..., a_{n}\in\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ beweise man die Relation
$\begin{eqnarray*} (\sum_{k = 1}^{n} a_k)\cdot(\sum_{k = 1}^{n} a_k^{-1}) \geq n^{2} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Da wir uns im Körper der rationalen Zahlen bewegen, dürfen wir annehmen dass $\begin{eqnarray*} a \cdot a^{-1} = 1 \end{eqnarray*}$ und somit auch
$\begin{eqnarray*} \sum_{k = 1}^{n} a_k \cdot a_k^{-1} = n \end{eqnarray*}$

Also gilt zumindest $\begin{eqnarray*} (\sum_{k = 1}^{n} a_k)\cdot(\sum_{k = 1}^{n} a_k^{-1}) \geq (\sum_{k = 1}^{n} a_k \cdot a_k^{-1})^{2} = n^{2} \end{eqnarray*}$

Mir ist aufgefallen dass man die Summanden in einer (n, n)-Matrix darstellen kann.
Die Diagonale besteht dann nur aus Einsen.

Dann ist mir noch das Cauchy-Produkt durch den Kopf gegangen, aber ich glaube dass ich da total vom Weg abkomme.

Über einen kleinen Denkanstoß würde ich mich wahnsinnig freuen smile

16.07.2013, 20:10

MatheTools

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Ich weiß dass es nichts schlimmeres gibt als User die ihre eigenen Threads pushen, aber ich finde einfach keinen gescheiten Ansatz :x

Ich brauche die Lösung weder für eine Hausarbeit, noch Klausur noch sonstwas.
Es geht mir nur darum zu verstehen wie ich diese Art von Aufgaben am besten angehe.

Werde dieses WS mit dem Studium beginnen und arbeite deshalb gerade ein paar Online-Übungsblätter durch.

Es würden mir wirklich schon ein paar Stichwörter helfen.

16.07.2013, 20:35

Theend9219

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Hey!

)
Es gilt doch :

$\begin{eqnarray*} \sum_{k}^{n} a_{k} \cdot b_{k} \neq \sum_{k}^{n} a_{k} \cdot \sum_{k}^{n} b_{k} \end{eqnarray*}$

16.07.2013, 20:42

Guppi12

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Hi MatheTools,

Man kann diese Aufgabe sehr schön mit vollständiger Induktion über n lösen.

Versuche es doch einmal soweit wie du kommst und wenn es hakt, postest du, wieweit du gekommen bist und wir helfen weiter Augenzwinkern

Edit: Ich lese gerade erst, dass du noch garnicht studierst.

Plane dann schon ein bisschen Zeit ein für die Aufgabe, es ist manchmal nicht ganz leicht, auf die richtigen Gedanken zu kommen. Wie gesagt, wenn es nicht weitergeht helfen wir gerne.

16.07.2013, 21:23

Che Netzer

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RE: Produkt aus Summen
Eine Induktion muss man aber nicht durchführen, wenn man die nicht kennt.
Es genügt die Ungleichung $\begin{eqnarray*} ab\leq\frac12(a^2+b^2) \end{eqnarray*}$ .
Man kann die Summanden, die nicht ohnehin schon der Form $\begin{eqnarray*} a_ka_k^{-1} \end{eqnarray*}$ sind, zu Summanden der Form
$\begin{eqnarray*} a_ka_j^{-1}+a_ja_k^{-1} \end{eqnarray*}$
zusammenfassen. Auf die kann man dann obige Ungleichung anwenden.

16.07.2013, 22:01

MatheTools

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RE: Produkt aus Summen
Hallo und vielen Dank euch Dreien für die Hilfe smile

Ich habe es mal über vollständige Induktion versucht.

Fertig geworden bin ich leider nicht:

Für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (\sum_{k = 1}^{1} a_k)\cdot(\sum_{k = 1}^{1} a_k^{-1}) = (a_1)\cdot(a_1^{-1}) = 1 = 1^{2} \end{eqnarray*}$

Nun also $\begin{eqnarray*} n \rightarrow n+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\sum_{k = 1}^{n+1} a_k)\cdot(\sum_{k = 1}^{n+1} a_k^{-1}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (\sum_{k = 1}^{n} a_k + a_{n+1})\cdot(\sum_{k = 1}^{n} a_k^{-1} + a_{n+1}^{-1}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (\sum_{k = 1}^{n} a_k)\cdot(\sum_{k = 1}^{n} a_k^{-1}) + (\sum_{k = 1}^{n} a_k \cdot a_{n+1}^{-1})\cdot(\sum_{k = 1}^{n} a_k^{-1} \cdot a_{n+1}) + a_{n+1} \cdot a_{n+1}^{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \geq n^2 + (\sum_{k = 1}^{n} a_k \cdot a_{n+1}^{-1})\cdot(\sum_{k = 1}^{n} a_k^{-1} \cdot a_{n+1}) + 1 \end{eqnarray*}$

(*)

$\begin{eqnarray*} \geq n^2 + 1 \end{eqnarray*}$

(*) Hier fehlt glaube ich der entscheidene Teil ein Binom zu erzeugen :S

16.07.2013, 22:25

MatheTools

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RE: Produkt aus Summen

Zitat:

Original von MatheTools
Nun also $\begin{eqnarray*} n \rightarrow n+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\sum_{k = 1}^{n+1} a_k)\cdot(\sum_{k = 1}^{n+1} a_k^{-1}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (\sum_{k = 1}^{n} a_k + a_{n+1})\cdot(\sum_{k = 1}^{n} a_k^{-1} + a_{n+1}^{-1}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (\sum_{k = 1}^{n} a_k)\cdot(\sum_{k = 1}^{n} a_k^{-1}) + (\sum_{k = 1}^{n} a_k \cdot a_{n+1}^{-1}) \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} (\sum_{k = 1}^{n} a_k^{-1} \cdot a_{n+1}) + a_{n+1} \cdot a_{n+1}^{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \geq n^2 + (\sum_{k = 1}^{n} a_k \cdot a_{n+1}^{-1}) \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} (\sum_{k = 1}^{n} a_k^{-1} \cdot a_{n+1}) + 1 \end{eqnarray*}$

(*)

$\begin{eqnarray*} \geq n^2 + 1 \end{eqnarray*}$

(*) Hier fehlt glaube ich der entscheidene Teil ein Binom zu erzeugen :S

Ups, zu spät bemerkter Tippfehler.
(kann leider nicht mehr editieren - in Zukunft will ich meine Posts gründlicher prüfen)

16.07.2013, 22:42

Guppi12

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Das sieht schon ganz gut aus.

Zu zeigen ist also noch:

$\begin{eqnarray*} (\sum_{k = 1}^{n} a_k \cdot a_{n+1}^{-1})+(\sum_{k = 1}^{n} a_k^{-1} \cdot a_{n+1})\geq 2n \end{eqnarray*}$

richtig?

Du kannst das zusammenfassen zu
$\begin{eqnarray*} \sum_{k = 1}^{n}( a_k \cdot a_{n+1}^{-1}+ a_k^{-1} \cdot a_{n+1} )= \sum_{k = 1}^{n} a_k \cdot a_{n+1}^{-1}+(a_k \cdot a_{n+1}^{-1})^{-1} \end{eqnarray*}$

Kannst du jetzt etwas über jeden einzelnen Summanden aussagen? Eine Abschätzung?

16.07.2013, 23:14

alterHund

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ich denke am einfachsten ist es mittels der Beziehung

$\begin{eqnarray*} ArithmetischesMittel \ge HarmonischesMittel \end{eqnarray*}$

denn das Summen-Produkt ist $\begin{eqnarray*} (n\cdot m_A)\cdot \left( \frac{n}{m_H} \right) = n^2 \cdot \frac{m_A}{m_H} \ge n^2 \end{eqnarray*}$

16.07.2013, 23:25

Guppi12

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Ist halt auch immer die Frage, was man vorausetzen möchte.

An der Stelle, an der solche Aufgaben im Studium gestellt werden, hat man diese Ungleichung für gewöhnlich noch nicht zur Verfügung will ich mal behaupten Augenzwinkern

Ändert natürlich nichts an deiner Aussage, dass das sicherlich ein kürzerer Weg ist.

16.07.2013, 23:34

MatheTools

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Also ich weiß dass $\begin{eqnarray*} g + g^{-1} = \frac{g^{2} + 1}{g} \end{eqnarray*}$

Und damit
$\begin{eqnarray*} \sum_{k = 1}^{n} a_k \cdot a_{n+1}^{-1}+(a_k \cdot a_{n+1}^{-1})^{-1} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{(a_k \cdot a_{n+1}^{-1})^{2} + 1}{(a_k \cdot a_{n+1}^{-1})} \end{eqnarray*}$

Habe gerade noch ein wenig rumprobiert, dabei ist mir ein Fehler aufgefallen, also hab ich's wieder rausgenommen.

Gott, heute ist echt nicht mein Tag Forum Kloppe

Dabei ist das erst Übungsblatt Nr. 2
Kannst du mir irgendwelche Bücher empfehlen, die ich lesen sollte?

16.07.2013, 23:39

Guppi12

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Ich würde das ein wenig entspannter sehen. Man soll für diese Aufgaben am Anfang etwas länger brauchen Augenzwinkern

Ich geb dir mal noch einen Tipp:

Für positive $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ kannst du zeigen, dass $\begin{eqnarray*} g+g^{-1}\geq 2 \end{eqnarray*}$ (oder halt $\begin{eqnarray*} \frac{g^2+1}{g}\geq 2 \end{eqnarray*}$ ) egal wie $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ unabhängig von der Positivität aussieht. Eine Idee, wie man das zeigen kann?

17.07.2013, 01:19

MatheTools

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Ohh Gott, da hatte ich echt ein gigantisches Brett vor dem Kopf..

Also:
$\begin{eqnarray*} (g - 1)^{2} \geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = g^{2} -2g +1 \geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow g^{2} +1 \geq 2g \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow g + \frac{1}{g} \geq 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = g + g^{-1} \geq 2 \end{eqnarray*}$

Und demnach:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k = 1}^{n} a_k \cdot a_{n+1}^{-1}+(a_k \cdot a_{n+1}^{-1})^{-1} \geq \sum_{k = 1}^{n} 2 = 2n \end{eqnarray*}$

Womit ich zeigen kann dass:
$\begin{eqnarray*} n \rightarrow n+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\sum_{k = 1}^{n+1} a_k)\cdot(\sum_{k = 1}^{n+1} a_k^{-1}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (\sum_{k = 1}^{n} a_k + a_{n+1})\cdot(\sum_{k = 1}^{n} a_k^{-1} + a_{n+1}^{-1}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (\sum_{k = 1}^{n} a_k)\cdot(\sum_{k = 1}^{n} a_k^{-1}) + (\sum_{k = 1}^{n} a_k \cdot a_{n+1}^{-1}) + (\sum_{k = 1}^{n} a_k^{-1} \cdot a_{n+1}) + a_{n+1} \cdot a_{n+1}^{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \geq n^2 + (\sum_{k = 1}^{n} a_k \cdot a_{n+1}^{-1}) + (\sum_{k = 1}^{n} a_k^{-1} \cdot a_{n+1}) + 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \geq n^2 + \sum_{k = 1}^{n} a_k \cdot a_{n+1}^{-1}+(a_k \cdot a_{n+1}^{-1})^{-1} + 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \geq n^2 + 2n + 1 = (n + 1)^2 \qed \end{eqnarray*}$

Wenn das soweit richtig ist, dann möchte ich mich riesig bei euch allen (aber vorallem bei dir Guppi12 für die Geduld und) Hilfe bedanken! Gott

17.07.2013, 09:30

Che Netzer

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Zitat:

Original von MatheTools
Also:
$\begin{eqnarray*} (g - 1)^{2} \geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = g^{2} -2g +1 \geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow g^{2} +1 \geq 2g \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow g + \frac{1}{g} \geq 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = g + g^{-1} \geq 2 \end{eqnarray*}$

Damit kannst du dann aber auch gleich meinen Vorschlag umsetzen, die Aussage direkt (ohne Induktion) zu zeigen.

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