Mengen (offen, abgeschlossen, etc.)

09.07.2013, 17:59

Keen89

Mengen (offen, abgeschlossen, etc.)

Ich habe die Menge $\begin{eqnarray*} M \subset \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ gegeben:

$\begin{eqnarray*} M:= \{ x \in \mathbb{R}^4 : -1 \le sin(x_1) * cos(x_2) + e^{-x_3^2} \le 2 \} \end{eqnarray*}$

Nun ist die Frage: Ist die Menge M offen, abgeschlossen, beschränkt bzw. kompakt in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ bzgl. der Euklidischen Norm? Begründen Sie Ihre Aussage.

Ich hätte gesagt, dass die Menge abgeschlossen ist (weil der Rand dazu gehört, wegen den <=).
Außerdem ist die Menge nicht beschränkt, da z.B. der Term $\begin{eqnarray*} e^{-x_3^2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ gegen unendlich gegen 0 geht.
Folglich ist die Menge nicht kompakt.

Ist das so richtig? Und wenn ja, wie begründe ich das mathematisch korrekt?

09.07.2013, 18:12

watcher

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Hallo,

stimme dir zu.

Bzgl. der Abgschlossenheit ist es hier am einfachsten mit der topologischen Def. von Stetigkeit zu arbeiten ("Urbilder offener Mengen...").

Die Nicht-Beschränktheit würde ich eher über die vierte Koordinate angehen.

09.07.2013, 18:25

Keen89

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Also so:

Beschränktheit:
Die Menge ist nicht beschränkt, weil $\begin{eqnarray*} x_4 \end{eqnarray*}$ frei wählbar ist.

Kompaktheit:
Aus nicht beschränkt folgt nicht kompakt.

Das mit der Abgeschlossenheit verstehe ich nicht. Du meinst die Def. "Urbilder offener Mengen sind offen". Wie kann ich das hier benutzen? Sorry, aber stehe auf dem Schlauch.

09.07.2013, 18:30

watcher

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Deine Menge ist das Urbild einer abgeschlossenen Menge (welche?) unter einer stetigen Abb. (welche?).
Beides lässt sich ablesen.

Das ist der wohl wichtigste Trick um abg. bzw. offen zu zeigen.

09.07.2013, 19:54

Keen89

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Ok... ich versuche es:

Meine Menge ist das Urbild vom $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ , welcher abgeschlossen ist unter der Abbildung $\begin{eqnarray*} sin(x_1)*cos(x_2)+e^{-x_3^2} \end{eqnarray*}$ , welche stetig ist, weil sie eine Verkettung von stetigen Funktionen ( $\begin{eqnarray*} sin(x), cos(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^{-x_3^2} \end{eqnarray*}$ ) ist.

Somit ist die Menge abgeschlossen.

Ist das so richtig (auch formal richtig)?

09.07.2013, 20:40

watcher

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Es geht in die richtige Richtung, richtig ist es noch nicht.

Zitat:

unter der Abbildung $\begin{eqnarray*} sin(x_1)*cos(x_2)+e^{-x_3^2} \end{eqnarray*}$ , welche stetig ist, weil sie eine Verkettung von stetigen Funktionen ( $\begin{eqnarray*} sin(x), cos(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^{-x_3^2} \end{eqnarray*}$ ) ist.

Pedant in mir sagt stetige Verkettung (* und +).

Entscheidender Punkt ist aber M ist nicht das Abbild von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ unter dieser Abb.
Du hast bis jetzt ja auch nur die Abb.vorschrift hingeschrieben. Was sind denn Quelle und Ziel dieser Abbildung?
Dann sollte auch klar werden das Urbild von was M wird.

09.07.2013, 21:06

Keen89

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Zitat:

Original von watcher
Es geht in die richtige Richtung, richtig ist es noch nicht.

Zitat:

Bevor ich mir das überlege, hätte ich noch eine Zwischenfrage: Ist die Menge eigentlich wirklich abgeschlossen, denn -1 kann ja eigentlich nie erreicht werden. Offen ist sie aber auch nicht, weil 2 sehrwohl erreicht werden kann. Oder sehe ich da was falsch?

09.07.2013, 21:09

watcher

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Ob die Randwerte "erreichbar" (was auch immer das genau heißt) sind ist vollkommen irrelevant.

09.07.2013, 22:14

Keen89

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Zitat:

Original von watcher
Es geht in die richtige Richtung, richtig ist es noch nicht.

Zitat:

Quelle ist der $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ und Ziel der $\begin{eqnarray*} \mathbb R^1 \end{eqnarray*}$

09.07.2013, 22:28

watcher

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Gut.
Und von welcher abgeschlossenen Teilmenge ist jetzt M ein Urbild?

Um genau zu sein ist für dieses f $\begin{eqnarray*} M=f^{-1}(A)\times \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit A wie oben gefordert.

09.07.2013, 22:56

Keen89

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Zitat:

Original von watcher
Gut.
Und von welcher abgeschlossenen Teilmenge ist jetzt M ein Urbild?

Um genau zu sein ist für dieses f $\begin{eqnarray*} M=f^{-1}(A)\times \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit A wie oben gefordert.

M ist ein Urbild von der abgeschlossenen Menge A:={x : -1<=x<=2}?

09.07.2013, 23:02

HAL 9000

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@Keen89

Schon mal versucht, ein $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ zu finden, das nicht in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ liegt? Es gibt nämlich gar keins, d.h., es ist $\begin{eqnarray*} M=\mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ . Da hat sich der Aufgabensteller einen netten Scherz erlaubt. Augenzwinkern

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