Riemann Integrierbarkeit

09.07.2013, 18:26

Araschi

Auf diesen Beitrag antworten »

Riemann Integrierbarkeit

Hallo,
und zwar benötige ich eure Hilfe bei der Umsetzung der Aufgaben;

1. Gegebene Funktion f: R -> R über das Intervall [0,10] soll geprüft werden ob diese Riemann Integrierbar ist.

A) f(x) = { 5 für x Z
0 sonst

B) f(x) = { 5 für x Q
o Sonst

Wie gehe ich da am besten ran, was muss ich genau tun ? Ich verstehe leider nicht wie ich rangehen soll und im Internet ist auch nicht wirklich was verständliches zu finden ...

09.07.2013, 19:59

Kequazo

Auf diesen Beitrag antworten »

damit eine fubnktion riemann integrierbar ist muss die obersumme gleich der untersumme sein für delta x gegen 0

09.07.2013, 20:44

Araschi

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie mache ich das ?

Intervall ist ja [0,10]

Also die Untersumme ist = 0
Und die obersumme = 10

Aber wie kann ich das den auf die f(x) 5 für x Z, 0 sonst anwenden ?

09.07.2013, 20:52

Araschi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß einfach nicht was ich mit f(x) = 5 für x Z machen soll. Was kann ich darunter verstehen ? 0 sonst

09.07.2013, 20:55

Kequazo

Auf diesen Beitrag antworten »

nur damit ichs richtig verstehe bei a) hat deine funktion immer den wert null außer für ein gewisses x Z da ist sie 5 ??

dann besteht das Problem mit der integrierbarkeit nur an dieser sprungstelle, also in dem intervall in dem sie liegt. denn nur da ist obersumme ungleiuch untersumme und somit nicht riemann integrierbar. wenn diese nicht zu integrierende intervall innerhalb deines zu betrachtenden intervalls liegt ist es insgesam nicht inegrierbar gerade weiol es einen teil enthält über den du eben keine aussage treffen kannnst

09.07.2013, 20:58

Kequazo

Auf diesen Beitrag antworten »

vllt mit er mit x Z die Zahlenmenmge Z, also die negativen und positiven natürlicen zahlen (...-3,-2,-1,0,1,2,3-.....) wieso er es dann aber Z nennt in der aufgabe und nicht N da dei ntervall eh erst ab null beginnt ist eine andere frage.

falls es so gemeint ist hast du einfach deine konstante funktion f(x)=0 außer eben an den stellen 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 da hat sie den wert 5 und an jeder dieser stllen ist sie aufgrund obersumme ungleich untersumme nicht riemann integrierbar

Anzeige

09.07.2013, 20:58

Araschi

Auf diesen Beitrag antworten »

Da steht f(x) = { 5 für x Element aus Z
0 sonst

alleine das verstehe ich ja schon nicht

09.07.2013, 21:00

Araschi

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso okayx das verstehe ich und äquivalent dazu ist ja noch aus der Menge von Q was ist da der unterschied ?

09.07.2013, 21:03

Araschi

Auf diesen Beitrag antworten »

Woran hast du gesehen das die Obersumme nicht gleich der Untersumme ist ?

09.07.2013, 21:07

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kequazo
falls es so gemeint ist hast du einfach deine konstante funktion f(x)=0 außer eben an den stellen 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 da hat sie den wert 5 und an jeder dieser stllen ist sie aufgrund obersumme ungleich untersumme nicht riemann integrierbar

Doch, ist sie wohl. Für eine Riemann-integrierbare Funktion $\begin{eqnarray*} f:[a,b]\rightarrow\mathbb R \end{eqnarray*}$ ist auch $\begin{eqnarray*} g:[a,b]\rightarrow\mathbb R \end{eqnarray*}$ Riemann-integrierbar, wenn $\begin{eqnarray*} \{x\in[a,b]~|~f(x)\neq g(x)\} \end{eqnarray*}$ endlich ist. Eine passende Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ sollte man da leicht finden.

09.07.2013, 21:10

Araschi

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt verstehe ich nur noch Bahnhof ?

Wie erkenne ich das die funktion riemann integrierbar ist ?

09.07.2013, 21:21

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man eine Riemann-integrierbare Funktion an nur endlich vielen Stellen ändert, bleibt die Funktion Riemann-integrierbar.

09.07.2013, 21:22

Araschi

Auf diesen Beitrag antworten »

Was micht stuzig macht ist das es ja die selben aufgaben sind nur das in a das element aus den ganzen Zahlen stammen und bei b aus den rationalen zahlen was macht das für einen unterschied ?

09.07.2013, 21:24

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Gibt es endlich viele ganze Zahlen im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,10] \end{eqnarray*}$ ? Wie sieht das bei den rationalen Zahlen aus?

09.07.2013, 21:29

Araschi

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei den ganzen Zahlen gibt es endlich bei den rationalen unendliche oder ?

09.07.2013, 21:29

Araschi

Auf diesen Beitrag antworten »

Bedeutet das das dadurch die stetigkeit gegeben ist und sie riemann integriebar ist ?

09.07.2013, 21:31

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie sollte eine von diesen Funktionen stetig sein? verwirrt

verwirrt

Die Funktion $\begin{eqnarray*} g:[0,10]\rightarrow\mathbb R,x\mapsto 0 \end{eqnarray*}$ ist stetig, also Riemann-integrierbar. Wie könnte man damit die Riemann-Integrierbarkeit für deine erste Funktion folgern?

Bei deiner zweiten Funktion ist das nicht mehr möglich, da solltest du mal nach der Dirichletschen Sprungfunktion suchen.

09.07.2013, 21:43

Araschi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe nicht wie du jetzt die Funktion g ins Spiel bringst. Also ich habe das so weit verstanden das ich im intervall den wert 5 habe und sonst 0. Also habe ich eine Konstante funktion bei 0 und eine Konstante funktion für das intervall da ja alle = 5 sind. Bedeutet also das sie einen Sprung machen und somit nicht stetig sind oder ?

Also ist a jetzt riemann integrierbar weil es eine Funktion geben kann also g die stetig sein kann =????

und bei den rationalen zahlen kann sie nicht riemann integrierbar sein weil im intervall beliebig viele Zahlen liegen können ?

09.07.2013, 21:54

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

In deinem letzten Beitrag stimmt kaum etwas. unglücklich

unglücklich

Folgende Aussage sollte dir eigentlich bekannt sein:

Ist $\begin{eqnarray*} g:[a,b]\rightarrow\mathbb R \end{eqnarray*}$ Riemann-integrierbar und ist $\begin{eqnarray*} f:[a,b]\rightarrow\mathbb R \end{eqnarray*}$ eine beliebige Funktion, so dass $\begin{eqnarray*} \{x\in[a,b]~|~f(x)\neq g(x)\} \end{eqnarray*}$ endlich ist, dann ist auch $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ Riemann-integrierbar mit $\begin{eqnarray*} \int_a^b f(x)\dx=\int_a^b g(x)\dx \end{eqnarray*}$ .

Also habe ich mir eine Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ gesucht, von der ich bereits weiß, dass sie Riemann-integrierbar ist. Und rein zufällig (?) unterscheidet sich die Funktion $\begin{eqnarray*} g:[a,b]\rightarrow\mathbb R,~x\mapsto 0 \end{eqnarray*}$ auch nur in endlich vielen Punkten von deiner Funktion $\begin{eqnarray*} f:[0,10]\rightarrow \mathbb R,~x\mapsto \begin{cases} 5 & x\in\mathbb Z \\ 0 & \text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$ . Also...

Für deine andere Funktion kann man hiermit keine Aussage treffen, da die Funktionen sich nicht in endlich vielen Punkten unterscheiden, da müssen andere Sachen herangezogen werden (Dirichletsche Sprungfunktion, Treppenfunktionen zur Bestimmung von Ober- und Untersumme etc.).

09.07.2013, 22:00

Araschi

Auf diesen Beitrag antworten »

Hab vielen dank das hat mir wirklich weitergeholfen smile

smile

)

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »