Integration - trigonometrische Funktion

09.07.2013, 19:55

Kimyaci

Integration - trigonometrische Funktion

Folgende Funktion:

$\begin{eqnarray*} I = \int_0^{\pi} sin \ (2x) \cdot cos \ x \ dx \end{eqnarray*}$

soll integriert werden. Irgendwie habe ich gerade eine Denkblockade... wie muss ich ansetzen?

09.07.2013, 19:59

grosserloewe

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RE: Integration - trigonometrische Funktion
Wink

Ist über die Umformung mittels Additionstheoremen möglich und auch über partielle Integration.

09.07.2013, 20:36

Kimyaci

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Musste es kurz nachschauen, ich glaube folgende Umformung wäre passend:

$\begin{eqnarray*} sin \ (2x) = 2 \ sin \ (x) \cdot cos \ (x) \end{eqnarray*}$

Aber das ist doch kein "Additionstheorem" oder?

09.07.2013, 20:41

grosserloewe

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ich meine eine andere
schau mal bei

$\begin{eqnarray*} \sin(\alpha ) *\cos(\beta ) \end{eqnarray*}$

09.07.2013, 21:20

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kimyaci
$\begin{eqnarray*} sin \ (2x) = 2 \ sin \ (x) \cdot cos \ (x) \end{eqnarray*}$

Man könnte natürlich auch sagen, dass diese Umformung zu einem dritten Weg passt: Den der Substitution $\begin{eqnarray*} u=\cos(x) \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

09.07.2013, 21:29

grosserloewe

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Ja sicher HAL 9000 hat Recht.

nun kanst du entscheiden , welchen Weg Du gehst.

kannst ja mal beide Wege gehen , wenn Du willst und vergleiche dann ,
aber entscheide SELBST.

:-)

12.07.2013, 11:59

Kimyaci

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Okay habs gefunden:

$\begin{eqnarray*} sin \ ( \alpha) \cdot cos \ ( \beta) = \frac{1}{2} \ [ sin( \alpha - \beta ) + sin ( \alpha + \beta ) ] \end{eqnarray*}$

Auf meine Aufgabe angewandt:

$\begin{eqnarray*} I = \int_0^{\pi} \frac{1}{2} \ [ sin( 2x - x ) + sin ( 2x + x ) ] \ dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I = \frac{1}{2} \int_0^{\pi} \ [ sin( x) + sin ( 3x ) ] \ dx \end{eqnarray*}$

Darf ich die "sin(x)" irgendwie zusammenaddieren? Oder klappt das nicht aufgrund der unterschiedlichen Argumente?

$\begin{eqnarray*} I = \frac{1}{2} \int_0^{\pi} \ [ sin( x) + sin ( 3x ) ] \ dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I = \frac{1}{2} \int_0^{\pi} sin( x) \ dx + \frac{1}{2} \int_0^{\pi} sin ( 3x ) \ dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I = \frac{1}{2} [- \ cos \ (x)]_0^{\pi} + \frac{1}{2} [- \frac{1}{3} \ cos (3x)]_0^{\pi} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I = \frac{1}{2} [- \ cos \ (\pi) - (- \ cos (0))] + \frac{1}{2} [- \frac{1}{3} \ cos (3 \cdot \pi) - \ (- \ cos(0))] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I = \frac{1}{2} [- (- 1) - (- 1)] + \frac{1}{2} [- \frac{1}{3} \ ( - \ 1) - \ (- \frac{1}{3})(- 1)] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I = \frac{1}{2} [1 + 1] + \frac{1}{2} [+ \frac{1}{3} - \frac{1}{3}] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I = \frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I = 1 \end{eqnarray*}$

Wie das mit Substitution klappen soll versteh ich nicht.

Edit: Unter welchen Stichpunkten kann ich nachlesen warum z.B. cos ( $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ) = - 1 ist? Ich würde das ganz gern verstehen statt nur auswendig zu lernen...

12.07.2013, 12:33

grosserloewe

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Darf ich die "sin(x)" irgendwie zusammenaddieren?
->nein

Oder klappt das nicht aufgrund der unterschiedlichen Argumente?
---> ja

Das allgemeine Ergebnis der Intergation stiimmt , der Wert nicht.
Bitte rechne den Wert nochmal.
----------------------------------------------------------------------------------------------

Mit der Substitution ist das so zu verstehen , das Du in das Ausgangsintegral
für sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) setzt und dort dann u= cos(x)
substituierst.

12.07.2013, 15:20

Kimyaci

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Hab hier die 1/3 vergessen:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} I = \frac{1}{2} [- \ cos \ (\pi) - (- \ cos (0))] + \frac{1}{2} [- \frac{1}{3} \ cos (3 \cdot \pi) - \ (- \ \textcolor{red}{\frac{1}{3}} \ cos(0))] \end{eqnarray*}$

Und dort somit ein Vorzeichenfehler gemacht:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} I = \frac{1}{2} [- (- 1) - (- 1)] + \frac{1}{2} [- \frac{1}{3} \ ( - \ 1) - \ (- \frac{1}{3})(\textcolor{red}{-} 1)] \end{eqnarray*}$

Damit ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} I = \frac{8}{6} \end{eqnarray*}$

Ich versuch gleich die Substitution.

12.07.2013, 15:27

grosserloewe

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stimmt jetzt kann noch gekürzt werden.

12.07.2013, 15:41

Kimyaci

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RE: Integration - trigonometrische Funktion
Gut, Substitution:

$\begin{eqnarray*} I = \int_0^{\pi} sin \ (2x) \cdot cos \ x \ dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I = \int_0^{\pi} 2 \ sin \ (x) \ cos \ (x) \cdot cos \ (x) \ dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I = \int_0^{\pi} 2 \ sin \ (x) \ cos^2 \ (x) \ dx \end{eqnarray*}$

Für:

$\begin{eqnarray*} u = cos \ (x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx} = - \ sin \ (x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - du = sin \ (x) \cdot dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I = - 2 \cdot \int_0^{\pi} cos^2 \ (x) \ du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I = - 2 \cdot \int_0^{\pi} u^2 \ du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I = - 2 \left[\frac{u^3}{3} \right]_0^{\pi} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I = - 2 \left[\frac{cos^3 (x)}{3} \right]_0^{\pi} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I = - 2 \left[\frac{cos^3 (\pi)}{3} - \frac{cos^3 (0)}{3} \right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I = - 2 \left[- \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I = - 2 \cdot (- \frac{2}{3}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I = \frac{4}{3} \end{eqnarray*}$

Ansonsten, wegen kürzen:

$\begin{eqnarray*} I = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \end{eqnarray*}$

Dankeeeeeee! Das zu verstehen motiviert einen! smile

12.07.2013, 15:48

grosserloewe

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RE: Integration - trigonometrische Funktion
Wink

stimmt alles

smile

gern doch

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