abstrakte Vektorräume |
| 09.07.2013, 18:57 | D.Pfaller | Auf diesen Beitrag antworten » |
| abstrakte Vektorräume Hallo, ich darf meine Seminararbeit über abstrakte Vektorräume verfassen, (bin Schüler 12. Klasse FOS). Ein Vektorraum ensteht, wenn gewisse Gesetze der Multiplikation und der Addition erfüllt sind: 1.1 (u+v)+w= u+(v+w) 1.2 u+v=v+z 1.3 u+0=u 1.4 u+(-u)=0 2.1 x(u+v) = xu+xv 2.2 (x+z)*u = xu + zu 2.3 x*(z*u) = (xz)*u 2.4 1*u = u wobei x und z Skalare sind und es sich bei u, v, und w um Vektoren handelt. Ich habe schon zwei Beispiele für abstrakte Vektorräume, einmal die 2x2 Matrizen und die Menge aller Polynome vom Grad kleiner gleich 2. Meine Frage an Euch nun, kennt ihr ein weiteres Beispiel für einen Vektorraum? und ein Gegenbeispiel, also eines, welches keinen abstrakten Vekorraum erzeugt? ich bitte um verständliche Antworten, ich bin kein Mathegenie und auch nicht der höheren Mathematik fähig. Danke Danke Danke! 
Meine Ideen: mir ist klar, dass weitere Vektorräume 3x3 matrizen wären und alle polynome vom Grad kleiner gleich 3 (4,5,6 usw) aber mein Betreuungslehrer hätte gerne noch ein anderes Beispiel. und bei dem Gegenbeispiel muss ich eine andere Verknüpfung wählen, aber darf ich da einfach die multiplikation durch eine zb. division ersetzen? |
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| 09.07.2013, 22:38 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wenn Du bei google mal den Begriff Vektorraum Beispiele eingibst (oder einfach auf wikipedia schaust) wirst Du sicher zig Beispiele für Vektorräume finden. So bilden beispielsweise die Menge aller Folgen, die Menge aller stetigen/differenzierbaren Funktionen, die Menge aller achsensymmetrischen Funktionen, die Menge aller Funktionen mit einer Nullstelle im Ursprung usw. einen Vektorraum. Du kannst das ganze auch auf endlichen Körpern betrachten oder eine Teilmenge von Matrizen (z.B. Diagonalmatrizen, obere Dreiecksmatrizen) nehmen. Wie gesagt: Es gibt hunderte von Beispielen. Für dein Gegenbeispiel solltest Du entweder die Verknüpfung ändern (wobei ich die Division wegen Schwierigkeiten mit der 0 vermeiden würde), oder einfach eine Teilmenge der bekannten Vektorräume auswählen, die keinen eigenständigen Vektorraum (einen sogenannten Untervektorraum oder kurz "Unterraum") bilden. |
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Unwissenschaftlich!