Häufungspunkte einer alternierenden Reihe

10.07.2013, 03:47

FolgenFerdinand

Häufungspunkte einer alternierenden Reihe

Meine Frage:
Gegeben seien die Folgen $\begin{eqnarray*} (a_k)_{k \in \mathbb N}\ \ \ (s_i)_{i \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ sodass $\begin{eqnarray*} a_k = (-1)^{k+1} \frac{k}{2k+1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s_i = \sum_{k=1}^i (a_k) \end{eqnarray*}$ .

Berechne $\begin{eqnarray*} \limsup \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \liminf \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} (a_k) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (s_i) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also für $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ ist das ja schnell gemacht, ist $\begin{eqnarray*} -.5 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} .5 \end{eqnarray*}$ . soweit so gut, allerdings ist das wohl auch nicht der witz an der Aufgabe unglücklich

Für $\begin{eqnarray*} s_i \end{eqnarray*}$ hab ich keine Ahnung wie ich ansetzen soll. Der Rechensklave hat mir gesagt es schwankt zwischen ungefähr $\begin{eqnarray*} .39 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} .89 \end{eqnarray*}$ . Nur ein Beweiß ist das leider nicht.
Vielen Dank für eure Zeit!

10.07.2013, 06:31

Leopold

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Schreibe $\begin{eqnarray*} \frac{k}{2k+1} \end{eqnarray*}$ in der Form "konstant + echt-gebrochen" und verwende den Wert der Leibnizschen Reihe.

11.07.2013, 17:29

FolgenFredinand

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Hallo Leopold.

Vielen Dank für deinen Hinweis. Mit dieser Zielführung war das geeignete Umformen leichter zu finden. Hab die Lösung raus. Für den geneigten Leser zur Vollständigkeit:
$\begin{eqnarray*} \liminf s_i = \frac{\pi}{8} \end{eqnarray*}$ sowie
$\begin{eqnarray*} \limsup s_i = \frac{\pi}{8} +.5 \end{eqnarray*}$

Danke nochmal und viele grüße

11.07.2013, 17:50

HAL 9000

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Zitat:

Original von FolgenFerdinand
$\begin{eqnarray*} a_k = (-1)^{k+1} \frac{k}{2k+1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s_i = \sum_{k=1}^i (a_k) \end{eqnarray*}$

[...]

$\begin{eqnarray*} \liminf s_i = \frac{\pi}{8} \end{eqnarray*}$ sowie
$\begin{eqnarray*} \limsup s_i = \frac{\pi}{8} +.5 \end{eqnarray*}$

Passt nicht zusammen, es ist wohl eher

$\begin{eqnarray*} \liminf s_i = \frac{\pi}{8}-0.5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \limsup s_i = \frac{\pi}{8} \end{eqnarray*}$ .

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