Grenzwert einer Funktion berechnen

10.07.2013, 12:33

134340

Grenzwert einer Funktion berechnen

Moin

Ich verstehe nich ganz den Unterschied zwischen Polstelle und waagerechter-senkrechter Asymptote. Konkret habe ich folgende Funktion gegeben: $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{(x-4)^2} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} D=\mathbb R \setminus \left\{ 4\right\} \end{eqnarray*}$ . Handelt es sich bei der Definitionslücke von x=4 um eine Polstelle? Und wäre dann x=4 eine Asymptote?

Was mir auch unklar ist: ich dachte beim Limes geht immer x gegen die Definitionslücke also $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 4} \frac{1}{(x-4)^2}=0 \end{eqnarray*}$ in der Lösung steht aber $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{1}{(x-4)^2}= \infty \end{eqnarray*}$ was ist denn nun richtig und viel wichtiger, wie komme ich darauf?

10.07.2013, 12:52

lgrizu

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RE: Grenzwert einer Funktion berechnen
Bei x=4 ist die Funktion nicht definiert, das ist richtig.

Es ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 4} \frac{1}{(x-4)^2}= \infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}\frac{1}{(x-4)^2}=0 \end{eqnarray*}$

Also irgendetwas stimmt in deiner Lösung nicht......

10.07.2013, 13:12

134340

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RE: Grenzwert einer Funktion berechnen

Zitat:

Original von lgrizu
Es ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 4} \frac{1}{(x-4)^2}= \infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}\frac{1}{(x-4)^2}=0 \end{eqnarray*}$

Also irgendetwas stimmt in deiner Lösung nicht......

Oh, ich bitte um Verzeihung; es sollte $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 4} \frac{1}{(x-4)^2}= \infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}\frac{1}{(x-4)^2}=0 \end{eqnarray*}$ heißen. Aber wie kommen die auf das $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ unter dem Limes?

Zitat:

Original von lgrizu
Bei x=4 ist die Funktion nicht definiert, das ist richtig.

Und um was handelt es sich hier? Ist das eine Polstelle?

10.07.2013, 14:38

lgrizu

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RE: Grenzwert einer Funktion berechnen
Überlege doch einmal, was ist denn eine Polstelle?

Der Grenzwert gegen unendlich gibt dir das Verhalten der Funktion gegen unendlich an, in diesem Fall ist es asymptotisch, mit welcher Asymptote?

10.07.2013, 14:59

134340

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RE: Grenzwert einer Funktion berechnen

Zitat:

Original von lgrizu
Überlege doch einmal, was ist denn eine Polstelle?

Der Grenzwert gegen unendlich gibt dir das Verhalten der Funktion gegen unendlich an, in diesem Fall ist es asymptotisch, mit welcher Asymptote?

Das ist genau das was ich nicht weiß Big Laugh

Ich vermute: die Polstelle ist die Definitionslücke und die Asymptote ist praktisch die Funktion die in dieser Definitionslücke verläuft, so dass sich die Funktion dieser Asymptote immer weiter annährt. Ist das richtig?

10.07.2013, 15:13

lgrizu

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RE: Grenzwert einer Funktion berechnen
Eine Polstelle ist eine ganz bestimmte Definitionslücke, das kann man auch bei Wikipedia nachlesen.
An der Definitionslücke kann ein Pol vorliegen oder ein Loch bzw. Lücke.

Von einer Polstelle spricht man, wenn die Funktionswerte in einer beliebigen Umgebung um die Definitionslücke betragsmäßig beliebig groß werden.
Werden sie beliebig groß oder beliebig klein, egal von welcher Richtung man sich der Definitionslücke annähert, so spricht man von Pol ohne Vorzeichenwechsel, werden sie von einer Seite kommend beliebig groß und von der anderen beliebig klein, so spricht man von einem Pol mit Vorzeichenwechsel.

11.07.2013, 10:10

134340

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Ich hab jetzt noch mal nachgelesen und denke dass ich es jetzt mit deiner Erklärung und der Erklärung aus meinem Buch verstanden hab.
Was ich aber noch nicht ganz verstehe: bei z.B. $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ist die Polstelle bei 0. Somit liegt der Grenzwert bei $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{1}{x} =0 \end{eqnarray*}$ und die Asymptote hat die Gleichung x=0. Aber müsste es nicht auch eine Asymptote bei y=0 geben? Weil die Funktion auch gegen die x-Achse konvergiert.

11.07.2013, 10:24

lgrizu

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Deine Gedanken haben eine richtige und eine falsche Seite.

Zunächst einmal ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}=0 \end{eqnarray*}$ , also haben wir eine Asymptote bei $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ (und nicht wie du schreibst bei x=0, denn für x gegen unendlich läuft die Funktion gegen Null), also die x-Achse als Asymptote.

Bei x=0 haben wir auch eine Asymptote, aber diese Asymptote nennen wir Polgerade, oder auch eine Polstelle bei x=0.

11.07.2013, 10:51

134340

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Und wie kann ich herausfinden wieviele Asymptoten es gibt?

Und woher weiß ich ob es sich um x=0 oder y=0 hgandelt?

11.07.2013, 11:06

lgrizu

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Es kann doch nur Asymptoten geben beim Verlauf der Funktion gegen Plus/Minus Unendlich und beim Grenzwert gegen die Definitionslücken, ansonsten kann es keine Asymptoten geben.

Zitat:

Und woher weiß ich ob es sich um x=0 oder y=0 hgandelt?

Du betrachtest doch $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} f(x) \end{eqnarray*}$ , also wie verhält sich die Funktion, also y, wenn x gegen unendlich strebt. Geraden der Form $\begin{eqnarray*} x=a \end{eqnarray*}$ sind senkrechte Geraden (also senkrecht zur x-Achse oder parallel zur y-Achse). Um einen solchen Pol zu haben muss, und das hättest du bei Wiki nachlesen können oder auch in einem vorhergenden Post:

Zitat:

Von einer Polstelle spricht man, wenn die Funktionswerte in einer beliebigen Umgebung um die Definitionslücke betragsmäßig beliebig groß werden.

Wenn also der Funktionswert, also y gegen unendlich strebt. Wenn der Funktionswert beliebig groß wird, so haben wir eine senkrechte Asymptote, also eine Polstelle.

Aber wie bereits gesagt, ordentlich die Posts lesen......

11.07.2013, 11:20

134340

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Achsooo

jetzt hab ich das endlich verstanden smile

Danke für deine Erklärung Freude

Du bist echt ein guter Helfer, weiter so Freude

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