Gauß Algorithmus in Stufenform

10.07.2013, 16:09	JonasJonny	Auf diesen Beitrag antworten »
Gauß Algorithmus in Stufenform Ich habe da eine verständnisfrage bzgl. dem Gauß Algorithmus. Wenn meine Matrix in Stufenform ist, wo fang ich an das LGS von unten nach oben zu lösen? Es geht mir insbesondere um Matrizen wo zb. 10 Zeilen und 3 Spalten vorhanden sind. Ich hoffe ihr versteht was ich meine. Also, exakt am Ende der ,,Treppe" oder ein unter der Treppe. Klingt verwirrend ich weiss.
10.07.2013, 21:58	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine wirkliche Stufenform ist nicht immer möglich, aber mittels Spaltenvertauschung schon du fängst immer mit der Zeile an, die die wenigsten Variablen hat und setzt in eine Zeile ein, die möglichst nur eine Variable mehr enthält oder gleichviele. Gibt es mehrere Kandidaten, dann ist die Wahl im Prinzip egal.
10.07.2013, 22:20	JonasJonny	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich meine z.b. folgendes LGS, welches ich bereits in eine Matrix überführt habe: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 4 & 5 & 2 \\ 7 & 4 & 6 \\ 7 & 4 & 6\\ 7 & 4 & 6\\ 7 & 4 & 6\\ 7 & 999 & 6\\ 4 & 4 & 6\\ 7 & 4 & 6\\ 6 & 4 & 6\\ 5 & 4 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wenn ich diese nun auf Stufenform bringe, ist dann die Nullzeile unter der letzten Stufe relevant oder nutze ich für die Gleichung von unten nach oben gelöst nur alles was ,,in" der Treppe ist. Hoffentlich verstehst du das.^^ Klingt verwirrend ich weiss sry.
10.07.2013, 22:43	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Spassvogel ! Da sind schon 5 gleiche Zeilen drin. Da kannst du getrost 4 davon weglassen. nach der Reduktion sieht das so aus: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die restlichen Nullzeilen habe ich mir geschenkt. Ist das die erweiterte Matrix ? wenn ja, dann ist es nicht lösbar, da Zeile 3 einen Widerspruch erzeugt. Wenn es ein homogenes System ist, dann ist es nur trivial lösbar, d.H. $\begin{eqnarray} \vec x = (0,0,0)^T \end{eqnarray}$ wenn du aber noch was anderes meinst - etwas praktikables - dann bräuchte man eine vernünftige Matrix.
11.07.2013, 00:15	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
also soetwas: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}\begin{array}{cccccc\|c}1 & 2 & 3 & 4 &5&6 &7\\5 & 6 & 7 & 8 &6&7&5\\2 & 9 & 11 & 12&13 &14&5 \\3& 9 & 1 & 2&13 &4&9 \end{array} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und dann zum Beispiel als reduziertes LGS: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}\begin{array}{cccccc\|c}1 & 2& 3 & 5 &1 & 3 &7\\0 & 1 & 5 & 8 & 6 & 7 & 5\\0 & 0 & 1 & 12&13 &14&5 \\0& 0 & 0 & 0&0 &0&a \end{array} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ lösbar, wenn a=0 ist. Das sei jetzt so ! Dann sind 3 Parameter frei wählbar: $\begin{eqnarray} x_4=\lambda , x_5=\mu , x_6= \sigma \end{eqnarray}$ das wird nun in Zeile 3 eingesetzt und nach $\begin{eqnarray} x_3 \end{eqnarray}$ aufgelöst. $\begin{eqnarray} x_3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_4,x_5,x_6 \end{eqnarray}$ werden in Zeile 2 eingesetzt, und nach $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ aufgelöst. $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_3, x_4,x_5,x_6 \end{eqnarray}$ werden in Zeile 1 eingesetzt, und nach $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ aufgelöst. Und schon fertig.
11.07.2013, 00:25	JonasJonny	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich weiss wie Gauß funktioniert. Das ist alles kein Problem. Bin mir nur unsicher, wenn ich solch eine Matrix wie die von mir genannt habe (Alle Elemente der Matrix sind verschieden, hatte die nur so einfach hingeschrieben mitselben Werten), wo ich genau anfange die Gleichungen von unten nach oben sukzessiv zu lösen. Am Ende der Stufenform inklusive Nullzeile ider nicht. Somit wäre eine Variable=beliebig.
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11.07.2013, 19:54	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine 10x3 Matrix kannst du immer auf 3x3 bringen. Die restlichen Zeilen sind Nullzeilen und bedeuten nichts. Das Systen ist lösbar, wenn $\begin{eqnarray} \text{rang (A)}=\text{rang(A$_e$)} \end{eqnarray}$ gilt. Die Dimension der Lösungsmenge ist 2-rang(A). Und dann ist auch klar, wieviel Parameter zu wählen sind. Wenn du echte Treppenform hast, fängst du am besten unten an.

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