Zahlenbereiche beim Bruch

11.07.2013, 13:26

sunnyboy123

Zahlenbereiche beim Bruch

Meine Frage:
Hi ich machs kurz und knapp:

>>> Meine Frage: Warum wurde dem Nenner der Zahlenbereich N zugewiesen und nicht Z ?

Gesucht ist der log3(6)

"Zunächst wird durch einen Widerspruch gezeigt, dass x keine rationale Zahl sein kann. Gäbe es nämlich eine rationale Lösung x, hätte x eine Darstellung als Bruch x=p/q mit Zahlen p element aus Ganzen Zahlen, q element aus Natürlichen Zahlen.

Aus den Potenzgesetzen folgt dann jedoch sofort 3^p/q = 6 <=> 3^p = 6^q <=> 3^p = 2^q * 3^q <=> 3^p-q = 2^q

Da q element aus N gilt, ist die rechte Seite stets eine gerade Zahl, und damit insbesondere größer als 1, während die linke entweder ungerade (falls p >= q) oder kleiner als Eins (falls p < q) ist. Daher können beide Seiten nicht übereinstimmen, und es gibt somit keine rationale Lösung der Gleichung."

>>> Meine Frage: Warum wurde dem Nenner der Zahlenbereich N zugewiesen und nicht Z ?

Meine Ideen:
k.A.

11.07.2013, 14:22

10001000Nick1

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Es wäre schön, wenn du wenigstens Klammern setzen würdest, wenn da welche hingehören.

Dass dem Nenner eine natürliche Zahl sein soll, liegt an der Definition der rationalen Zahlen: Hier wurde folgende Definition verwendet: $\begin{eqnarray*} \mathbb Q=\left\{\frac{a}{b} \bigg{|}a\in\mathbb Z, b\in\mathbb N\right\}. \end{eqnarray*}$

Manchmal sieht man aber auch $\begin{eqnarray*} \mathbb Q=\left\{\frac{a}{b} \bigg{|}a\in\mathbb Z, b\in\mathbb Z\right\}. \end{eqnarray*}$

Ist also alles nur Definitionssache. Augenzwinkern

11.07.2013, 15:22

s.o.

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Ok Vielen Dank!

11.07.2013, 15:27

Iorek

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
Manchmal sieht man aber auch $\begin{eqnarray*} \mathbb Q=\left\{\frac{a}{b} \bigg{|}a\in\mathbb Z, b\in\mathbb Z\right\}. \end{eqnarray*}$

Das sieht man in dieser Form natürlich nicht! Schließlich wäre sonst $\begin{eqnarray*} b=0\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ ein möglicher Nenner, das möchte man aber vermeiden. Denkbar wäre also höchstens $\begin{eqnarray*} \mathbb Q=\{\frac ab~|~a\in\mathbb Z,~b\in\mathbb Z,b\neq 0\} \end{eqnarray*}$ .

11.07.2013, 15:34

10001000Nick1

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Stimmt, da habe ich nicht dran gedacht. Aber je nach Definition von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ muss man eventuell auch bei der Definition $\begin{eqnarray*} \mathbb Q=\left\{\frac{a}{b} \bigg{|}a\in\mathbb Z, b\in\mathbb N\right\} \end{eqnarray*}$ zusätzlich $\begin{eqnarray*} b\neq 0 \end{eqnarray*}$ fordern.

11.07.2013, 15:35

Iorek

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In der Tat, wenn die natürlichen Zahlen mit 0 definiert werden, muss das natürlich auch noch gemacht werden.

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