Abhängigkeit von Vektoren

11.07.2013, 19:27

skyline_1

Abhängigkeit von Vektoren

Hallo,
hab hier gerade eine alte Klausuraufgabe vor mir liegen an der ich mir grade den Kopf zerbreche.
Wäre cool wen jemand mal drüber schauen kann. smile

Die Aufgabe:
Gegeben seien die Vektoren

$\begin{eqnarray*} \vec{a} \begin{pmatrix} 2 \\ \lambda \\ 3 \end{pmatrix} , \vec{b} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} , \vec{c} \begin{pmatrix} -\lambda \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Für welche $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ sind die Vektoren linear abhängig? Stellen Sie für diese
$\begin{eqnarray*} \lambda \vec{c} \end{eqnarray*}$ als Linearkombination der beiden anderen dar.

Mein Ansatz wäre jetzt folgender:
Damit die Vektoren linear abhängig muss die Determinante = 0 sein. Also muss ich $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ dementsprechend wählen.

$\begin{eqnarray*} \vec{a} \begin{pmatrix} 2 \\ \lambda \\ 3 \end{pmatrix} + \vec{b} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + \vec{c} \begin{pmatrix} -\lambda \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2*(-1)*3) + (1*4*3) + ((-\lambda)*\lambda*2) - (3*(-1)*(-\lambda)) -(2*4*2) - (3*\lambda*1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =-2\lambda^{2}-6\lambda-32 | (/2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \lambda^{2}+3\lambda+16 \end{eqnarray*}$

Dann pq-Formel: $\begin{eqnarray*} \lambda_{1,2} = -\frac{3}{2} \pm \sqrt{-13,75} \end{eqnarray*}$

Kann das so stimmen oder hab ich irgendwas falsch gemacht?

11.07.2013, 19:31

Iorek

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Deine Determinante stimmt nicht. Du scheinst im letzten Ausdruck ein Minuszeichen vergessen zu haben.

11.07.2013, 19:43

Helferlein

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Im ersten auch, oder die dritte Komponente des c-Vektors soll 3 anstatt -3 heissen.

11.07.2013, 19:50

skyline_1

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Ah verflixt.Hab das Minuszeichen vergessen. Danke

$\begin{eqnarray*} (2*(-1)*(-3)) + (1*4*3) + ((-\lambda)*\lambda*2) - (3*(-1)*(-\lambda)) -(2*4*2) - ((-3)*\lambda*1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =-2\lambda^{2}+2 | /(-2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \lambda^{2}+1 \end{eqnarray*}$

Dann ist:

$\begin{eqnarray*} \lambda^{2} = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda = \pm \sqrt{-1}= i \end{eqnarray*}$

11.07.2013, 20:00

Iorek

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Nein, das stimmt so auch nicht. Und du kannst ein Polynom nicht einfach durch (-2) teilen. Was du meinst ist:

$\begin{eqnarray*} -\lambda ^2+2 = 0 ~|~: (-2) \end{eqnarray*}$

Und da kommt nicht $\begin{eqnarray*} \lambda^2=-1 \end{eqnarray*}$ raus.

11.07.2013, 20:27

skyline_1

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Dankeschön.

Neuer Versuch:

$\begin{eqnarray*} -2\lambda^{2}+2 = 0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} |(:-2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda^{2}=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda=\pm \sqrt{1} \end{eqnarray*}$

Hab jetzt für $\begin{eqnarray*} \lambda=\pm \sqrt{1} \end{eqnarray*}$ die Determinante überprüft und es kommt 0 raus.
D.h. die Vektoren sind abhänging für $\begin{eqnarray*} \lambda=\pm \sqrt{1} \end{eqnarray*}$

Was ich jetzt noch nicht ganz verstehe ist der zweite Teil der Aufgabe. " Stelle sie für diese
$\begin{eqnarray*} \lambda \vec c \end{eqnarray*}$ als Linearkombination der beiden anderen dar."

11.07.2013, 21:08

Iorek

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Zunächst kann man $\begin{eqnarray*} \sqrt 1 \end{eqnarray*}$ noch ausrechnen, das sieht schöner aus.

Danach kannst du $\begin{eqnarray*} \lambda=1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \lambda=-1 \end{eqnarray*}$ einsetzen und dann $\begin{eqnarray*} \vec c \end{eqnarray*}$ als Linearkombination als $\begin{eqnarray*} \vec a,\vec b \end{eqnarray*}$ darstellen, d.h. finde $\begin{eqnarray*} \alpha,\beta \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha \vec a+\beta \vec b=\vec c \end{eqnarray*}$ .

13.07.2013, 10:11

skyline_1

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Danke nochmal.

Das Ergebnis zum zweiten Teil:

$\begin{eqnarray*} \alpha \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\alpha + 1\beta = -1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1\alpha - 1\beta = 4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3\alpha + 2\beta = 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Aus I+II = IV \Rightarrow \alpha = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} IV in II \Rightarrow 1-\beta = 4 \Rightarrow \beta =-3 \end{eqnarray*}$

13.07.2013, 10:20

Helferlein

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Wieso ist die dritte Koordinate jetzt wieder +3?
Deine Linearkombination ergibt aber den richtigen Vektor

13.07.2013, 11:29

skyline_1

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Zitat:

Original von Helferlein
Wieso ist die dritte Koordinate jetzt wieder +3?

Hab das Minuszeichen vergesen. Scheinbar mag ich keine Minuszeichen.
Soll natürlich -3 sein.

$\begin{eqnarray*} \alpha \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \beta = -3 \end{eqnarray*}$

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