Nullstellen auf Einheitskreisscheibe

11.07.2013, 19:55	Lithiesque	Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstellen auf Einheitskreisscheibe Sei $\begin{eqnarray} f(z):=e^z+3z^5 \end{eqnarray}$ . Bestimme die Anzahl der Nullstellen von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \mathbb{D} \end{eqnarray}$ und zeige, dass es darunter genau zwei verschiedene gibt, deren Imaginärteil positiv ist. Ich habe mit dem Satz von Rouché bereits gezeigt, dass die Nullstellenzahl 5 ist. Auch ist wegen $\begin{eqnarray} f(\overline{z})=\overline{f(z)} \end{eqnarray}$ klar, dass die nicht rein reellen Nullstellen von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ paarweise auftreten, d.h. es kann höchstens zwei mit positivem Imaginärteil geben. Aber mir gelingt es nicht, zu zeigen, dass es mindestens zwei gibt. Wie mache ich das?
11.07.2013, 21:24	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullstellen auf Einheitskreisscheibe Zeige, dass die Funktion genau eine reelle Nullstelle hat. Du musst aber außerdem noch ausschließen können, dass es in der oberen Hälfte der Einheitskreisscheibe eine doppelte Nullstelle gibt.
11.07.2013, 22:18	Lithiesque	Auf diesen Beitrag antworten »
Doppelte nichtreelle Nullstellen würden doch auch $\begin{eqnarray} f(\overline{z})=\overline{f(z)} \end{eqnarray}$ widersprechen: Sei $\begin{eqnarray} z_0 \end{eqnarray}$ eine doppelte Nullstelle mit nichtverschwindendem Imaginärteil. Dann $\begin{eqnarray} f(z)=(z-z_0)^2g(z) \end{eqnarray}$ , also auch $\begin{eqnarray} f(z)=\overline{f(\overline{z})}=(z-\overline{z_0})^2\overline{g(z)} \end{eqnarray}$ , oder? Wie ich zeigen kann, dass die Funktion genau eine reelle Nullstelle hat, weiß ich leider auch nicht...
11.07.2013, 22:29	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Etwas wie $\begin{eqnarray} (x^2+1)^2 \end{eqnarray}$ hat allerdings eine doppelte nichtreelle Nullstelle. Dass die Funktion nur eine reelle Nullstelle hat, folgt ganz einfach aus der strengen Monotonie.
12.07.2013, 01:28	Lithiesque	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie zeige ich dann, dass es keine doppelten Nullstellen gibt? Vielleicht über die Ableitung...?
12.07.2013, 06:53	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das kannst du machen.
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12.07.2013, 09:26	Lithiesque	Auf diesen Beitrag antworten »
Hätte $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ auf der oberen Einheitskreishälfte eine Nst., so wäre $\begin{eqnarray} f'(z)=e^z+15z^4=0=e^z+3z^5=f(z) \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} z^4(3+z) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ in dieser Kreishälfte, was nicht sein kann. Richtig?
12.07.2013, 14:02	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß nicht, was du da sagen willst. Was soll "also $\begin{eqnarray} z^4(3+z) \end{eqnarray}$ " heißen? Wann kann denn $\begin{eqnarray} f(z)=f'(z) \end{eqnarray}$ gelten?
15.07.2013, 18:14	Lithiesque	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, Entschuldigung, ich war da etwas verschlafen. Korrekterweise sollte es heißen: $\begin{eqnarray} z^4(5-z)=0 \end{eqnarray}$
15.07.2013, 18:19	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ja, das ergibt schon mehr Sinn.
16.07.2013, 19:59	Lithiesque	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, dann ist die Aufgabe ja quasi gelöst. Danke für die Hilfe.

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