Algebraisch

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Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »
Algebraisch
Folgende Aufgabe:

Seien komplexe Zahlen. Man beweise: Sind und algebraische Zahlen, so sind auch und algebraisch.


Also die Definition von algebraisch ist mir bewusst:
eine Körpererweiterung (L über K) muss ein Element Nullstelle eines Polynoms, ungleich , mit Koeffizienten in ist.dann heißt es algebraisch und es muss das Minimalpolynom existieren.

Es sind ja . D.h es ist das Minimalpolynom von gesucht. Das ist ja offensichtlich für und für findet sich das Minimalpolynom:

reicht das so???
Oder muss das Minimalpoly. mit Koeffizienten aus dargestellt werden?
Liebe Grüüße
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Algebraisch
DAs ist noch nicht einmal ein richtiger Ansatz, und die Minimalpolyme sind ziemlich daneben.

Eine Zahl heißt algrébraisch, wenn sie Nullstelle eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten ist. Deine Minimalpolynome haben aber komplexe Koeffizienten.....
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Algebraisch
Hey! Oh da hab ich mich sehr vertan.
Für eine komplexe Zahl gilt das Minimalpolynom

Wenn ich nun das Minimalpolynom der Summe bestimmen will, muss ich erst einmal die Minimalpolynome der Summanden bestimmen.

Minimalpolynom 1:


Minimalpolynom 2:


Ist das soweit richtig?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Algebraisch
Zitat von Igrizu:

Zitat:
Original von lgrizu
Eine Zahl heißt algrébraisch, wenn sie Nullstelle eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten ist. Deine Minimalpolynome haben aber komplexe Koeffizienten.....

Das scheinst du komplett ignoriert zu haben. a+b und ab sollen nach Voraussetzung algebraisch über (!!!) sein.

Und du sollst zeigen, dass dann auch a und b algebraisch über sind.

Natürlich sind a, b, a+b und ab algebraisch über , weil diese Zahlen ja allesamt schon in liegen. Das ist gleichermaßen trivial wie unspektakulär und hat mit der Aufgabe nix zu tun. Augenzwinkern

Edit: Nebenbei bemerkt:

Zitat:
Original von Theend9219
Für eine komplexe Zahl gilt das Minimalpolynom

x²+1 ist Minimalpolynom von i und -i, aber sicher nicht von i²=-1.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht sollte man hier mal erwähnen, dass man mit den Minimalpolynomen (selbst wenn man verstehen würde, wie die aussehen...) nicht so wirklich weiterkommt.

Ich werfe mal in den Raum.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm naja... wenn man (x-a)(x-b) mal ausmultipliziert, hätte man immerhin schon mal das Mipo von a und b in Q(a+b,ab). Dann a oder b adjungieren.

Dann liefert es der Transitivitätssatz doch eigentlich schon. Denn Q(a+b,ab,a) oder Q(a+b,ab,b) ist ja schon Q(a,b).

Oder?

Naja, mal gucken, ob dem Shelly schon was eingefallen ist. Augenzwinkern
 
 
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »

Leider bringt mir der Einwurf mit irgendwie recht wenig ... Ich weiß das das ausmultiplizierte gleich dem ist,
aber was ich jetzt damit anfangen soll ist mir schleierhaft. Und
@Mulder: wenn ich das ausmultipliziere erhalte ich: .. aber wie finde ich da das Minimalpolynom .. Ach ich stecke fest ..
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Kennst du denn so Aussagen wie:

Die Menge der algebraischen Zahlen bilden einen Körper

oder

Sind und algebraisch, so auch

?

Die Tipps von Mulder oder mir zusammen mit diesen Aussagen liefern dir quasi direkt die Behauptung. Man muss es nur sehen.
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Algebraisch
- nach meiner Recherche ergab sich folgendes: Der Körper der rationalen Zahlen, lässt sich zu einem Körper erweitern, das meintest du bestimm auch @tmo, indem du sagtest und algebraisch, so auch . Da ich aber leider nicht mehr weis wie ich vorgehen soll, ist es vielleicht besser das Thema zu schließen eh ich hier immer von mal zu mal unproduktivere Antworten zu diesem Thema gebe. Ich versuche hier noch einmal meine Idee zu verdeutlichen ..
Ich muss eine Nullstelle in finden, die muss dann algebraisch über ist, also ist sie dann algebraisch über sein ...



wäre für mich die Nullstelle ..
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Algebraisch
Ist irgendwie nicht so wirklich verwertbar, was du bisher geschrieben hast.

Was ich z.B. meinte: Die Körpererweiterung



ist nach Vorausetzung algebraisch, weil und nach Voraussetzung algebraisch sind.

An diesen Körper sollst du nun noch eine weitere Nullstelle adjungieren, entweder oder , das ist in diesem Fall völlig Banane, das kommt beides aufs selbe raus. Ich nehm einfach mal . Also mal



betrachten.

Zwei Dinge sind jetzt noch zu tun: Zum einen musst du nun noch nachweisen, dass die Erweiterung



algebraisch ist (dazu brauchst du eben ein Polynom mit Koeffizienten in , das als Nullstelle hat. Und dann solltest du dich davon überzeugen, dass



ist (was allerdings nicht schwer ist).

Denn dann liefert der Transitivitätssatz, dass auch



eine algebraische Körpererweiterung ist, und das bedeutet, dass und algebraisch über sind. Und genau das wollen wir ja haben.
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