Differenzialgleichung

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12.07.2013, 11:32	Marcneu	Auf diesen Beitrag antworten »
Differenzialgleichung Meine Frage: Hallo zusammen, ich habe folgendes Problem mit folgender Gleichung: Gleichung: $\begin{eqnarray} x''=-2x'-5x \end{eqnarray}$ hierzu soll ich die Charakteristische Gleichung finden,die Nullstellen finden, eine Aussage über die Stabilität sowie über die Schwingungen machen (und die spezielle Lösung mit x(0)=2 war die andere Frage soweit ich mich noch erinnern kann) schonmal Danke für eure Hilfe Gruß Marcel Meine Ideen: mein erster Ansatz wäre die Gleichung erstmal in die richtige Form bringen: $\begin{eqnarray} x''+2x'+5x=0 \end{eqnarray}$ daraus erkennt man schon, dass es sich um die HLDGL2KK handelt. daraus ergibt sich die Quadratische Gleichung: $\begin{eqnarray} \lambda ^2+2\lambda +5=0 \end{eqnarray}$ = Charakteristische Gleichung? Das mit Hilfe der Pq-Formel lösen: $\begin{eqnarray} -1\pm j2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda_1= -1+j2<br /> \lambda_2=-1-j2 \end{eqnarray}$ = die entsprechenden Nullstellen? Da die Diskriminante (D) kleiner wie 0 ist haben wir hier den 3 Fall wodurch: Sinus und Cosinus Schwingungen entstehen = Reicht das schon als Antwort? ist das alles soweit schonmal richtig? und was kann man aus den Nullstellen schon über die Stabilität erkennen? und wie geht das mit der speiellen Lösung bei dieser Aufgabe?
12.07.2013, 13:33	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzialgleichung Warum gibst du nicht eine allgemeine Lösung an und beurteilst die Schwingungen danach? Ich selbst nutze zumeist den Ansatz $\begin{eqnarray} y=C_1 \cdot e^{\lambda_1 x}+C_2 \cdot e^{\lambda_2 x} \end{eqnarray}$ und die Eulergleichung $\begin{eqnarray} e^{i \phi}=\cos (\phi )+ i \cdot \sin (\phi ) \end{eqnarray}$ . Um die Integrationskonstanten zu betsimmen benötigst du zwei Anfangsbedingungen, eine reicht da nicht aus..... Und es heißt Differentialgleichungen
12.07.2013, 14:21	Marcneu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzialgleichung Du hattest ja jetzt die allgemeine Formel dafür angegeben, dass die Diskriminante größer ist als 0. Für den 3. Fall D<0 haben wir die allgemeine Lösung: $\begin{eqnarray} y=(C1sin(wx)+C2cos(wx))e^{ax} \end{eqnarray}$ wie kann ich aber jetzt die Schwingungen anhand dieser Formel beurteilen? reicht es aus wenn man sagt, dass es sich um Sinus und Cosinus Schwingungen handelt und es sich nicht nur um eigenbewegungen handelt sondern um erzwungene? und wie lässt sich anhand der Nullstellen: $\begin{eqnarray} \lambda_{1,2}= -1\pm j2 \end{eqnarray}$ etwas über die Stabilität sagen?
12.07.2013, 14:23	Marcneu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzialgleichung Und wenn man jetzt einfach noch eine 2 Anfangsbedingung dazu nimmt, dass man x1(0)=2 und x2(0)=1 hat. Muss man die Werte dann einfach für C1 und C2 einsetzen oder wie funktioniert das?
12.07.2013, 14:47	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzialgleichung Eins nach dem anderen, jetzt bestimme erst mal eine allgemeine Lösung der Differentialgleichung, also bestimme zuerst mal das $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ und das $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ aus deiner Lösung, das sollte doch recht einfach sein. Dann bestimmen wir eine allgemeine Lösung. Und dann sagst du mir, welche Stabilitätskriterien ihr zugrunde gelegt habt. Man kann allgemein sagen, dass das System stabil ist, wenn die Supremumsnorm der Fundamentalmatrix endlich ist.
12.07.2013, 15:11	Marcneu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzialgleichung Ok machen wir eins nach dem anderen. Am Anfang habe ich schon die quadratische Gleichung gelöst wodurch ich: $\begin{eqnarray} \lambda_{1,2}= -1\pm j2 \end{eqnarray}$ bekommen habe. Wenn man das dann in die allgemeine Lösungsformel schreibt erhällt man: $\begin{eqnarray} y=(C1sin(2x)+C2cos(2x))e^{-1x} \end{eqnarray}$ Mit den Stabilisationskriterien ist eine gute Frage, da kann ich mich leider nicht mehr dran erinnern. Gibt es keine allgemeine Formulierung für diesen Fall, womit man die Stabilität erklären kann? ( anhand der Nullstellen )
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12.07.2013, 15:14	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzialgleichung Dann solltest du in deinem Skript nachsehen oder mal bei Wikipedia, nicht alle Stabilitätskriterien sind äquivalent zueinander. Ansonsten einmal die Fundamentalmatrix betrachten. Dazu ist die DGL 2. Ordnung zuerst in ein DGL System 1. Ordnung zu überführen, das ist im Ansatz aber bereits geschehen (charakteristische Gleichung)
12.07.2013, 15:33	Marcneu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzialgleichung Ok dann muss ich mich wegen der Stabilität noch einmal im Skript einlesen. Wenn sonst alles soweit richtig ist, würde ich gerne noch einmal auf die spezielle Lösung zurück kommen. Wenn man jetzt einfach noch einen zweiten Wert dazu nimmt, dass man dann x1(0)=2 und x2(0)=1 hat, wie müsste man das dann genau in die allgemeine Formel einsetzen?
12.07.2013, 15:42	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzialgleichung Selten, dass die Anfangsbedingungen in der Form gegeben sind, zumeist sind sie gegeben als $\begin{eqnarray} x(a)=x_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x'(a)=x_1' \end{eqnarray}$ Zum Beispiel bei einer Bewegung, da kennt man den Ort und die Geschwindigkeit oder ähnliches, selten, dass man zwei Anfangwerte der Ausgangsfunktion gegeben hat...... Ansonsten: einsetzen Wir sind im übrigen auch dahingehend von der Aufgabe abgewichen, und das verwirrt dich jetzt vielleicht, dass in deinem Anfangspost von einer Funktion x die Rede ist, wir haben aber nun eine Funktion y(x), eigentlich wäre richtig (icht tippe mal auf die Funktion x(t)) $\begin{eqnarray} x(t)=\left( C_1 \cos (2t)+C_2 \sin (2t) \right) e^{-t} \end{eqnarray}$ Nun einfach t und x(t) einsetzen bzw. die Ableitung bilden und das da analog einsetzen....
12.07.2013, 15:55	Marcneu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzialgleichung Dass sollte eigentlich nur als Beispiel sein habe die exakte formulierung der Aufgabenstellung leider nicht mehr im Kopf. Ja genau das war eine Funktion x(t) gewesen . Also nochmal richtig jetzt: Wenn man die Anfangsbedingungen x(1)=2x und x'(1)=2 hat wie muss ich das dann genau einsetzen?
12.07.2013, 16:28	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzialgleichung Okay, das x ist in deinen Anfangsbedingungen wohl zu viel... Wir haben als einmal angenommen: $\begin{eqnarray} x(1)=2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x'(1)=2 \end{eqnarray}$ Dann setzt du einfach wie gewohnt ein, an der Stelle t=1 ist der Funktionswert x(t=1)=2, also für t die 1 einsetzen und für x dann enstprechend die 2, das sind allerdings Grundlagen, die bereits in der Schule bahendelt werden und sollten an der Uni sitzen.... Ebenso für die Ableitung, zuerst die Ableitung bestimmen und dann in die Ableitung für t die 1 einsetzen und für x'(t=1) entsprechend die 2.
12.07.2013, 17:12	Marcneu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzialgleichung Ok dann habe ich das hier jetzt erstmal so weit verstanden. Muss dann nur noch ein paarmal gerechnet werden bis das dann alles 100% sitzt. Schonmal hier vielen Dank für deine Hilfe

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