Integralrechnung - Polynomfunktion 3.Grades

27.02.2007, 17:24

Huly

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Integralrechnung - Polynomfunktion 3.Grades

Hallo Leute!

Es tut mir leid, aber ich habe schon wieder eine Frage, und zwar zu folgender Aufgabe:

Welche Polynomfunktion 3. Grades berührt die x-Achse im Ursprung, hat bei x=2 eine Wendestelle und schließt mit der x-Achse ein A=13,5 großes Flächenstück ein?

Herausgefunden hab ich bis jetzt bei Aufstellungen folgendes:

Ursprung (0/0) --> einsetzen für f(x) ax³+bx²+cx+d --> d=0

Wendepunkt (2/y) --> einsetzen in f''(x) 6ax+2b --> 0=12a+c

Berührung von Ursprung und Kurve --> einsetzen in f'(x) 3ax²+2bx+c --> c=0

so weit, so gut - aber jetzt steh ich an!
Ich denke mal, dass ich noch irgendeine gleichung mit den Flächeninhalt A aufstellen muss, aber ich komm nicht drauf, wie das gehen soll...

27.02.2007, 17:58

Leopold

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Bei der Bedingung mit der Wendestelle hast du dich vertan. Überprüfe das noch einmal.

28.02.2007, 07:31

Huly

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oh sorry!

der Wendepunkt wird natürlcih folgendermaßen eingesetzt:

f''(2) = 0=12a+2b

...aber ich komm trotzdem nciht weiter... unglücklich

unglücklich

28.02.2007, 08:27

klarsoweit

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Wegen c=d=0 bleibt noch f(x) = ax³+bx²
Bestimme die fehlende Nullstelle und dann die Fläche, die mit der x-Achse eingeschlossen wird.

28.02.2007, 09:24

Huly

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ja, aber wie kann ich die fehlende Nullstelle bestimmen?

ich weis ja eigenltich nur dass c=0 und d=0 ist...

außerdem weis ich dass f''(2) = 0=12a+2b

ich kann ja nicht dieses a und b in die funktion einsezten
(12x³-2x²) ... da kommt ja nix gscheites raus beim nullsetzen... Hilfe

Hilfe

28.02.2007, 09:29

klarsoweit

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Zitat:

Original von Huly
ja, aber wie kann ich die fehlende Nullstelle bestimmen?

Setze ax³+bx² = 0. Natürlich kommt da keine konkrete Zahl als Nullstelle raus. Aber was solls.

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28.02.2007, 10:21

Huly

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na gut, dann ist die Nullstelle also
$\begin{eqnarray*} x=\frac{-b}{a} \end{eqnarray*}$

ok, ich probier jetzt was (aber bitte nicht lachen!!!)

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{-b}{a}}~12x³ + 2x² = 13,5 \end{eqnarray*}$

28.02.2007, 10:49

klarsoweit

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Jetzt hast du aus mir nicht erklärlichen Gründen a=12 und b=2 gewählt. Laß doch da die Parameter a und b stehen.

28.02.2007, 11:19

Huly

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tja, da gibts schon einiges, dass mir nicht mehr ganz klar ist... ;-)

aber naja, ... vielleicht wirds noch...

also
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{-b}{a}}~ax³ + bx² = 13,5 \end{eqnarray*}$

jetzt könnte ich (laut integralrechnung) $\begin{eqnarray*} \frac{-b}{a} \end{eqnarray*}$ für x einsetzen und nach ausrechnen und div. kürzungen etc... bring ich folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} a=\sqrt{\frac{-b³-b}{13,5}} \end{eqnarray*}$

ich weis aber nicht was mir das bringen könnte... traurig

traurig

28.02.2007, 11:29

klarsoweit

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Zitat:

Original von Huly
$\begin{eqnarray*} a=\sqrt{\frac{-b³-b}{13,5}} \end{eqnarray*}$

Es wäre hilfreich, wenn du auch entscheidende Zwischenschritte posten würdest. Was ist die Stammfunktion? Was kommt raus nach Einsetzen der Grenzen?

Damit man mal sieht, wohin die Reise geht:

28.02.2007, 11:49

Bjoern1982

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Zitat:

na gut, dann ist die Nullstelle also
$\begin{eqnarray*} x=\frac{-b}{a} \end{eqnarray*}$

Na dann ersetze dann doch mal das b durch Auflösen der Gleichung 12a+2b=0...dann hast du doch nur noch eine Variable und erhälst auch zwei natürliche Zahlen als Nullstellen bzw Integrationsgrenzen.

Gruß Björn

28.02.2007, 11:52

Huly

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Also: bei
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{-b}{a}}~ax³ + bx² = 13,5 \end{eqnarray*}$
setze ich für x $\begin{eqnarray*} \frac{-b}{a} \end{eqnarray*}$ ein

folglich heist die Stammfinktion nun:
$\begin{eqnarray*} a(\frac{-b}{a})³+b( \frac{-b}{a})²=13,5 \end{eqnarray*}$

ausgerechnet ergibt dass dann:
$\begin{eqnarray*} a(\frac{-b³}{a³})+b( \frac{-b²}{a²})=13,5 \end{eqnarray*}$

a und b reingerechnet ergibt das dann:
$\begin{eqnarray*} a(\frac{-b³}{a³})+b( \frac{-b²}{a²})=13,5 \end{eqnarray*}$

nochmals gekürzt:
$\begin{eqnarray*} (\frac{-b³-b}{a²})=13,5 \end{eqnarray*}$

also schliesse ich draus, dasss
$\begin{eqnarray*} a=\sqrt{\frac{-b³-b}{13,5}} \end{eqnarray*}$

so, dass wäre mein Rechenschritt:

Ach ja, ich möcht überhaupt mal sagen: Danke an klarsoweit für deine mühe mir das beizubringen! ;-)

wenn du mal a mathematisches problem hast, werd ich dir auch gern weiterhelfen! Gott

Gott

28.02.2007, 12:04

Bjoern1982

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Zitat:

ja, aber wie kann ich die fehlende Nullstelle bestimmen?

ich weis ja eigenltich nur dass c=0 und d=0 ist...

außerdem weis ich dass f''(2) = 0=12a+2b

Und genau das reicht schon völlig.

Löse 12a+2b nach b auf und setze den Term für b in f(x)=ax^3+bx^2 ein und du erhälst somit eine Funktion die nur noch a als Parameter hat.
Bei der Bestimmung der Nullstellen (Integrationsgrenzen) erhälst du somit auch zwei glatte Zahlen.

Gruß Björn

28.02.2007, 12:05

Huly

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Zitat:

Original von Bjoern1982

Zitat:

na gut, dann ist die Nullstelle also
$\begin{eqnarray*} x=\frac{-b}{a} \end{eqnarray*}$

Na dann ersetze dann doch mal das b durch Auflösen der Gleichung 12a+2b=0...dann hast du doch nur noch eine Variable und erhälst auch zwei natürliche Zahlen als Nullstellen bzw Integrationsgrenzen.

Gruß Björn

mhm, aha... *überleg*

also wäre dann
$\begin{eqnarray*} x=(\frac{6a}{a}) \end{eqnarray*}$

28.02.2007, 12:10

Bjoern1982

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Ja..ist richtig.

Aber mache es mal formal ganz sauber:

Löse 12a+2b nach b auf und setze den Term für b in f(x)=ax^3+bx^2 ein und du erhälst somit eine Funktion die nur noch a als Parameter hat.
Bei der Bestimmung der Nullstellen (Integrationsgrenzen) erhälst du somit auch zwei glatte Zahlen.

Gruß Björn

28.02.2007, 12:16

klarsoweit

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Zitat:

Original von Huly
folglich heist die Stammfinktion nun:
$\begin{eqnarray*} a(\frac{-b}{a})³+b( \frac{-b}{a})²=13,5 \end{eqnarray*}$

Du hast da echte Probleme mit der Stammfunktion.

Daß die Nullstelle letztlich ein glatter von a und b unabhängiger Wert ist hatte ich übersehen. Also ist es geschickter, erstmal diesen Wert zu berechnen.
Du (Huly) hast es ja schon hingeschrieben:
$\begin{eqnarray*} x_0 = \frac{6a}{a} = ... \end{eqnarray*}$

28.02.2007, 12:17

Huly

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ok, danke björn, danke klarsoweit ... werd mir das jetzt in ruhe anschauen, und versuchen, den rest selber zu lösen...
meld mich dann, obs geklappt hat! ;-)

01.03.2007, 11:27

Huly

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Ok Leute!

Wir haben das Beispiel gestern im Mathe-Kurs durchgenommen!
Jetzt ist mir auch einiges klarer geworden!

Unter anderem dachte ich dass sich die Fläche von 13,5 auf die gesamte Kurve bezieht. Es ist aber nur das Teilstück bis zum Wendepunkt (2)

Für alle die es Interessiert: hier ist der Lösungsweg:
Ableiungsformeln:
$\begin{eqnarray*} f(x) = ax³+bx²+cx+d \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x) = 3ax²+2bx+c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x) = 6ax + 2b \end{eqnarray*}$

1. Punkt im Ursprung (0/0)
--> einsetzen ergibt: d=0

2. Berühren der X-Achse --> Steigung in der ersten Ableitung = 0
--> (0) einsetzen in f' ergibt: c=0

3. Wendepunkt bei 2/y --> ergibt in der zweiten Ableitung = 0
--> einsetzen in f'' ergibt: 0=12a+2b

Die letzte Information die wir haben ist die Fläche von 13,5, die sich ergibt, wenn die Stammfunktion von 0 bis 2 integriert wird:
$\begin{eqnarray*} 13,5=\int_{0}^{2}ax³+bx²~dx \end{eqnarray*}$

integrieren: -->
$\begin{eqnarray*} 13,5=\frac{ax^4}{4}+\frac{bx³}{3} \end{eqnarray*}$

nun wird 2 für x eingesetzt: -->
$\begin{eqnarray*} 13,5=4a+\frac{8}{3}b \end{eqnarray*}$

diese zwei funktionsgleichungen
$\begin{eqnarray*} 0=12a+2b \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} 13,5=4a+\frac{8}{3}b \end{eqnarray*}$

verden jetzt ausgerechnet (händisch oder via matrix) und das ergebnis lautet:
$\begin{eqnarray*} a=\frac{-9}{8} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b=\frac{27}{4} \end{eqnarray*}$

traraaaa!
So einfach wär's, wenn man ein bisserl logischer denken würde...
(Meine Fehler waren: Falsche Integration und falsche Stammfunktion)
aber jedenfalls nocheinmal danke an "klarsoweit" und an "bjoern"!

01.03.2007, 11:36

klarsoweit

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RE: Integralrechnung - Polynomfunktion 3.Grades

Zitat:

Original von Huly
Welche Polynomfunktion 3. Grades berührt die x-Achse im Ursprung, hat bei x=2 eine Wendestelle und schließt mit der x-Achse ein A=13,5 großes Flächenstück ein?

Also daraus kann man nicht schließen, daß es um die Fläche auf dem Intervall [0; 2] geht. Es geht ganz klar um die mit der x-Achse eingeschlossenen Fläche. Dazu braucht man eine weitere Nullstelle. Und diese ist (wie oben gezeigt wurde) ganz klar bei x_0=6. Also für meine Begriffe ist da der Mathe-Lehrer auf dem falschen Dampfer.

01.03.2007, 11:46

Bjoern1982

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Kann ich klarsoweit nur voll und ganz zustimmen smile

smile

War das wirklich die Original-Aufgabenstellung deines Lehrers oder hast du sie evtl mit eigenen Worten wiedergegeben ?

Gruß Björn

01.03.2007, 14:25

Huly

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Dieser Angabentext ist Original aus den Skript-Unterlagen, in denen auch die Antwort gegeben ist. (und wenn man bisPpunkt 2 rechnet kommt die richtige Lösung raus)

Ich habe jedenfalls unseren Mathelehrer auch darüber geredet und ihm gesagt, dass ich den Text so verstehe, dass die ganze Kurve gemeint ist.
Er hat gemeint, dass die Angabe ein wenig undeutlich geschrieben wurde! Tja, auf sowas soll man halt mal draufkommen...

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