Geometrische Reihe Wert bestimmen

12.07.2013, 18:04

lissa

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Geometrische Reihe Wert bestimmen

Meine Frage:
Hallo, ich hab eine Frage zur geometrischen Reihe

Hier soll der Wert bestimmt werden.

$\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{3}{7^n} <br /> \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Die Reihe konvergiert genau dann, wenn

$\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{k=0}^\infty q^{k} = \frac{1}{1-q} <br /> \end{eqnarray*}$
ok ich sehe das die Reihe konvergiert, wähle mein q = 3/7

Dann,
$\begin{eqnarray*} <br /> 1 - \frac{1}{1-\frac{3}{7} } <br /> \end{eqnarray*}$

ist der Ansatz soweit richtig?
danke

12.07.2013, 18:16

10001000Nick1

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RE: geometrische Reihe wert bestimmen

Zitat:

Original von lissa
Die Reihe konvergiert genau dann, wenn
$\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{k=0}^\infty q^{k} = \frac{1}{1-q} <br /> \end{eqnarray*}$

Was?
Meintest du vielleicht folgendes? Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty q^{k} \end{eqnarray*}$ konvergiert genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} |q|<1 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty q^{k} =\frac{1}{1-q}. \end{eqnarray*}$

Zu deiner Reihe: $\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{3}{7^n} \end{eqnarray*}$
Da kannst du nicht einfach $\begin{eqnarray*} q=\frac{3}{7} \end{eqnarray*}$ wählen, denn du hast ja nicht $\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{n=2}^\infty \left(\frac{3}{7}\right)^n \end{eqnarray*}$

12.07.2013, 18:47

lissa

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" Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty q^{k} \end{eqnarray*}$ konvergiert genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} |q|<1 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty q^{k} =\frac{1}{1-q}. \end{eqnarray*}$ "

ja genau smile

smile

ok, wie bekomm ich dann im Zähler 3^n ?, was muß denn da tun??

12.07.2013, 18:51

10001000Nick1

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Zitat:

Original von lissa
ok, wie bekomm ich dann im Zähler 3^n ?, was muß denn da tun??

Gar nicht. smile

smile

Du könntest aber die 3 vor die Summe schreiben, also $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{3}{7^n} =3\cdot\sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{7^n} \end{eqnarray*}$

12.07.2013, 19:08

lissa

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ok, stimmt ,das klappt, einfach rausziehen.

kann ich dann für n=2 einsetzen, also dann 1/49 mit * 3 multiplizieren?

12.07.2013, 19:11

10001000Nick1

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Und was hast du dann davon?

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12.07.2013, 19:15

lissa

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ich versuche eine form zu finden smile

smile

wäre aber quatsch, die Summe läuft ja von n=2 bis unendlich. es muß also für jeden wert >2 gelten.

was wäre aber dann der nächste Schritt?

12.07.2013, 19:30

10001000Nick1

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Du weißt ja, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty q^{k} = \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$ gilt (|q|<1). Das kannst du jetzt mal auf deine Reihe anwenden.

Jetzt beginnt aber deine Reihe bei n=2, nicht bei 0. Was könnte man da machen?

12.07.2013, 19:36

lissa

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mein q ist jetzt 1/7 . richtig?

12.07.2013, 19:41

10001000Nick1

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Ja.

12.07.2013, 19:52

lissa

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ok, ich setze ein:

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> \frac{1}{1-\frac{1}{7} } = \frac{7}{6} <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Das multipliziere ich mit 3 ?

12.07.2013, 19:56

10001000Nick1

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Noch nicht. Erst mal musst du ja noch beachten, dass die Summe nicht bei n=0, sondern bei 2 anfängt.

12.07.2013, 20:02

lissa

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ok

also, für n=2
$\begin{eqnarray*} <br /> {\frac{1}{7^2} * \frac{1}{1-\frac{1}{7} }}<br /> \end{eqnarray*}$

korrekt?

12.07.2013, 20:48

10001000Nick1

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Nein.

Es gilt: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{3}{7^n}=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{3}{7^n}-\frac{3}{7^0}-\frac{3}{7^1} \end{eqnarray*}$

12.07.2013, 21:07

alterHund

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lissa hat auch recht; wenn die Reihe erst ab 2 beginnt, und weil sie bis $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ geht, verkeinern sich alle
Sumanden auf ihr 49stel.

12.07.2013, 21:10

lissa

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ok

smile

das Ergebnis soll sein 1/14.
wie kommt man dahin, mir fehlt irgendwie der letzte schritt?

12.07.2013, 21:17

alterHund

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Bruchrechnen-Wiederholung nötig?

12.07.2013, 21:19

10001000Nick1

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Stimmt, alterHund, da habe ich nicht dran gedacht, dass es ja eigentlich so einfach geht... Hammer

Hammer

Lissa:

Zitat:

Original von lissa
ok

also, für n=2
$\begin{eqnarray*} <br /> {\frac{1}{7^2} * \frac{1}{1-\frac{1}{7} }}<br /> \end{eqnarray*}$

korrekt?

Das war natürlich richtig. Das ganze musst du jetzt nur noch mit 3 multiplizieren, da vor der Summe ja der Faktor 3 stand.

12.07.2013, 21:24

lissa

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alles, merci..dann hab ich 's auch raus smile

smile

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