Differenzierbarkeit im Mehrdimensionalen

12.07.2013, 18:13

McClane

Differenzierbarkeit im Mehrdimensionalen

Hallo,

darf ich Differenzierbarkeit, so wie im folgenden, einfachen Beispiel, allgemein zeigen?

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=xy \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} v=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D_vf(x)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <v,grad f(x)> = 0 \end{eqnarray*}$

Also ist f (total) differenzierbar

13.07.2013, 16:27

McClane

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Kann jemand helfen?

13.07.2013, 22:49

m4themag1er

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Wenn du die Frage gescheit formulieren könntest, würde ich gerne helfen. Das was du jetzt geschrieben hast, ist einfach nur Müll, sorry.

14.07.2013, 11:21

McClane

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Wenn ich Differenzierbarkeit in einem bestimmten Punkt v zeigen möchte, kann ich dies mit der Bedingung

$\begin{eqnarray*} D_vf(x)=<v,gradf(x)> \end{eqnarray*}$

nachweisen.

Meine Frage ist:

Wenn ich die Gleichheit für einen beliebigen Punkt $\begin{eqnarray*} v=(x,y) \end{eqnarray*}$ zeige, zeige ich dann auch Differenzierbarkeit in allen Punkten?

14.07.2013, 11:24

m4themag1er

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Du hast da irgendwas total missverstanden.

Das was du da hinschreibst ist keine Bedingung, sondern die Tatsache, dass wenn die Frechet-Ableitung in einem Punkt x existiert, dass dann die Richtungsableitung in Richtung v im Punkt x gegeben ist durch die Frechet-Ableitung (im Punkt x) wirkend auf v.

Wie gesagt, du hast anscheinend irgendwas gar nicht verstanden. Dementsprechend kann dir keiner deine (ehrlich gesagt wirren) Fragen beantworten. Sorry.

14.07.2013, 11:40

McClane

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In der Vorlesung wurde uns gesagt, dass wir mit der Gleichheit, die Differenzierbarkeit in einem bestimmten Punkt zeigen können. Ich würde gerne wissen, ob ich die Differenzierbarkeit in allen Punkten zeigen kann, indem ich nun v als beliebigen Punkt (x,y) wähle. Ich weiß ehrlich gesagt nicht, was du da als wirr empfindest.

14.07.2013, 12:19

m4themag1er

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Am besten du schreibst mal, wie ihr totale Differenzierbarkeit definiert habt.

Du hast anscheinend selber nicht verstanden, was das mit dieser Gleichheit zeigen auf sich hat und gibst einfach wieder, was du glaubst in der Vorlesung gehört zu haben. Ein derartiges Halbwissen (à la "Stille Post") führt doch zwangsweise zu wirren Fragen.

14.07.2013, 12:25

McClane

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Sei f differenzierbar. Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} D_vf(x)=<v,gradf(x)> \end{eqnarray*}$

Wobei

$\begin{eqnarray*} D_vf(x) \end{eqnarray*}$ die Ableitung von f im Punkt x in Richtung v ist.

14.07.2013, 12:27

m4themag1er

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Zitat:

Original von McClane
Sei f differenzierbar. Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} D_vf(x)=<v,gradf(x)> \end{eqnarray*}$

Wobei

$\begin{eqnarray*} D_vf(x) \end{eqnarray*}$ die Ableitung von f im Punkt x in Richtung v ist.

Und da haben wir auch den massiven Denkfehler. Das ist nicht die Definition. Sondern ein Satz, der die totale Ableitung mit der Richtungsableitung in Verbindung setzt.

14.07.2013, 12:35

McClane

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Und um diese Verbindung geht es mir!!

Wenn ich bei einer Funktion die Richtungsableitung im Punkt x in einer bestimmten Richtung v bestimme und dieser Wert nicht mit

$\begin{eqnarray*} <v,gradf(x)> \end{eqnarray*}$

übereinstimmt, dann ist f im Punkt x nicht differenzierbar.

Um Differenzierbarkeit in einem Punkt zu zeigen, könnte ich doch v beliebig wählen und wieder überprüfen, ob die Gleichheit erfüllt ist??

14.07.2013, 12:37

m4themag1er

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Zitat:

Original von McClane
Und um diese Verbindung geht es mir!!

Wenn ich bei einer Funktion die Richtungsableitung im Punkt x in einer bestimmten Richtung v bestimme und dieser Wert nicht mit

$\begin{eqnarray*} <v,gradf(x)> \end{eqnarray*}$

übereinstimmt, dann ist f im Punkt x nicht differenzierbar.

Um Differenzierbarkeit in einem Punkt zu zeigen, könnte ich doch v beliebig wählen und wieder überprüfen, ob die Gleichheit erfüllt ist??

Du willst also Differenzierbarkeit überprüfen, in dem du beide Seiten berechnest und prüfst, ob die gleich sind?

Leider muss ich dich enttäuschen. Die Voraussetzung, um die rechte Seite zu berechnen, ist, dass du die Ableitung kennst. Wenn du die Ableitung denn schon kennst, warum solltest du dann prüfen, ob die Ableitung existiert?

Schau doch mal. In der Voraussetzung des Satzes hast du doch gefordert, dass die Funktion differenzierbar sein soll.

14.07.2013, 12:48

McClane

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Zitat:

Original von m4themag1er
Die Voraussetzung, um die rechte Seite zu berechnen, ist, dass du die Ableitung kennst. Wenn du die Ableitung denn schon kennst, warum solltest du dann prüfen, ob die Ableitung existiert?

Ich kenne nur die partiellen Ableitungen. Über Differenzierbarkeit weiß ich nix.

Und die Voraussetzung des Satzes sagt mir, wenn die Gleichheit gilt, muss f differenzierbar sein. Wenn nicht->Nicht differenzierbar.

Ich weiß, dass dieses Verfahren, um "Nicht-Differenzierbarkeit" zu zeigen, funktioniert. Ich würde nur gerne wissen, ob das Verfahren auch umgekehrt für Differenzierbarkeit erlaubt ist. Dann muss ich statt einer bestimmten Richtung nun alle Richtungen betrachten bzw überprüfen. Dies kann ich erreichen, wenn ich v beliebig wähle. Also v=(x,y)

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