Wurzelkriterium Schritt unklar

12.07.2013, 19:28

Mathelover

Wurzelkriterium Schritt unklar

Hallo liebe boardies,

ich habe eine Aufgabe vor mir liegen, bei der ich mittels des Wurzelkriteriums die Konvergenz/Divergenz nachweisen soll.

Ich verstehe jedoch nicht, wie sie vom ersten Schritt auf den zweiten Schritt kommen.

12.07.2013, 19:45

10001000Nick1

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$\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{\left|\frac{(k+1)^{k^2}}{k^{k^2} 2^k}\right| }=\left|\frac{(k+1)^{k^2}}{k^{k^2} 2^k}\right| ^{\frac{1}{k}}=\left|\frac{\left((k+1)^{k^2}\right)^\frac{1}{k}}{\left(k^{k^2}\right)^\frac{1}{k} \left(2^k\right)^\frac{1}{k}}\right| \end{eqnarray*}$

Jetzt musst du mit Hilfe der Potenzgesetze weiter umformen.

12.07.2013, 20:20

Mathelover

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
$\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{\left|\frac{(k+1)^{k^2}}{k^{k^2} 2^k}\right| }=\left|\frac{(k+1)^{k^2}}{k^{k^2} 2^k}\right| ^{\frac{1}{k}}=\left|\frac{\left((k+1)^{k^2}\right)^\frac{1}{k}}{\left(k^{k^2}\right)^\frac{1}{k} \left(2^k\right)^\frac{1}{k}}\right| \end{eqnarray*}$

Jetzt musst du mit Hilfe der Potenzgesetze weiter umformen.

Vielen Dank für deine Antwort smile

ich komme auf:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{\left|\frac{(k+1)^{k^2}}{k^{k^2} 2^k}\right| }=\left|\frac{(k+1)^{k^2}}{k^{k^2} 2^k}\right| ^{\frac{1}{k}}=\left|\frac{\left((k+1)^{k^2}\right)^\frac{1}{k}}{\left(k^{k^2}\right)^\frac{1}{k} \left(2^k\right)^\frac{1}{k}}\right|=\left|\frac{(k+1)^k}{k^k*2}\right|=\left|\left(\frac{k+1}{2k}\right)^k\right|<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

wie soll es jetzt weiter gehen?

12.07.2013, 20:45

Bjoern1982

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Ganz am Schluss stimmt es nicht mehr, denn bei der 2 steht ja gar kein k mehr im Exponenten.

12.07.2013, 20:46

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Mathelover
$\begin{eqnarray*} ...=\left|\frac{(k+1)^k}{k^k*2}\right|=\left|\left(\frac{k+1}{2k}\right)^k\right|<br /> \end{eqnarray*}$

Das stimmt nicht.

12.07.2013, 22:59

Mathelover

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$\begin{eqnarray*} =\left|\frac{(k+1)^k}{k^k*2}\right|=\left|\frac{k^k+k^k+1}{k^k*2}\right|=\left|\frac{2*k^k+1^k}{2*k^k}\right| \end{eqnarray*}$

stimmt, dann hört es bei mir hier schon auf...

13.07.2013, 01:17

Bjoern1982

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Wie kommst du darauf, dass $\begin{eqnarray*} (k+1)^k=k^k+k^k+1 \end{eqnarray*}$ ist ?

Mit Klammern auflösen ist hier eher nichts.

Die Idee mit dem $\begin{eqnarray*} ...=\left|\frac{(k+1)^k}{k^k*2}\right|=\left|\left(\frac{k+1}{2k}\right)^k\right|<br /> \end{eqnarray*}$ war ja bis auf die 2 nicht schlecht.
Was mit der (konstanten) 2 passiert, musst du dir nun noch überlegen - evtl auch mal von der Kontroll-Lösung inspirieren lassen.

13.07.2013, 17:08

thk

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...und dann kann man auch mal die Betragsstriche weglassen Augenzwinkern

13.07.2013, 17:25

Mathelover

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Also noch ein Versuch:

$\begin{eqnarray*} ...=\left|\frac{(k+1)^k}{k^k*2}\right|=\frac{1}{2}\left(\frac{k+1}{k}\right)^k=\frac{1}{2}\left(\frac{k}{k}\left(\frac{1+\frac{1}{k}}{1}\right)\right)^k=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{k}\right)^k \end{eqnarray*}$

Stimmt es jetzt?

13.07.2013, 17:33

Mathelover

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Zitat:

Original von thk
...und dann kann man auch mal die Betragsstriche weglassen Augenzwinkern

ab wann kann ich denn die Betragsstriche weglassen und warum?

13.07.2013, 18:48

thk

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Ausdrücke wie $\begin{eqnarray*} k^{k^2} \end{eqnarray*}$ sind eh positiv. Dann:
Für ungerade Wurzelexponenten kann man zwar (zumindest pragmatisch) negative Radikanten betrachten, für allg. k aber nicht. Daher ist der Betrag doppelt obsolet.

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