Reihe absolut konvergent/Nur konvergent?

13.07.2013, 01:14

Bischoffll

Reihe absolut konvergent/Nur konvergent?

Habe zwei Fragen. Hoffentlich könnt ihr mir weiterhelfen.

1) Sind folgende Reihen absolut konvergent oder nur konvergent?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{k^{3}87^{k} }{k!} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{\left(-1\right)^{k} }{k^{2} +i^{k} } \end{eqnarray*}$

Meine Antwort: Die erste Reihe ist weder absolut konvergent (hier äquivalent zu konvergent), da das nullfolgenkrit. nicht erfüllt ist. Sie zeigt die divergenz, da der zählerpolynom (mit exponentialfunktion) schneller wächst als das nennerpolynom und somit ungleich Null ist. Die zweite Reihe ist absolut konvergent <-> konvergent da ihr betrag konvergiert. Gezeigt habe ich das mithilfe einer Majorante. Abschätzung erfolgt nach kleiner 1/k^2, die bekanntlich konvergent ist.

Meine Frage: Bin mir eigentlich sicher, das das beides richtig ist. Mich interessiert aber, wie ich das erste beweisen kann als 1. semestriger etechniker. Außerdem interessiert mich wie ich komplexe Zahlen behandeln soll. bei Reihen. Vor allem, welche Werte nimmt i^k an? Ich hoffe ihr versteht was ich meine. unglücklich

Dann würde mich noch interessieren, was ich sage, wenn die reihe nicht absolut konvergent ist jedoch konvergent. Das hört sich irgendwie komisch an. Gibt es da ein Begriff für ,,normale" Konvergenz von Reihen?

13.07.2013, 07:49

Iorek

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RE: Reihe absolut konvergent/Nur konvergent?

Zitat:

Original von Bischoffll

Meine Antwort: Die erste Reihe ist weder absolut konvergent (hier äquivalent zu konvergent), da das nullfolgenkrit. nicht erfüllt ist. Sie zeigt die divergenz, da der zählerpolynom (mit exponentialfunktion) schneller wächst als das nennerpolynom und somit ungleich Null ist.

Warum sollte das denn so sein? Überleg da lieber nochmal, $\begin{eqnarray*} \frac {k^3\cdot 87^k}{k!} \end{eqnarray*}$ konvergiert nämlich gegen 0, und die Reihe wird auch absolut konvergent sein.

Was für Werte $\begin{eqnarray*} i^k \end{eqnarray*}$ annimmt, solltest du selber berechnen können. Setz für $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ doch mal ein paar Zahlen und versuche eine Regelmäßigkeit zu erkennen.

13.07.2013, 12:16

Bischoffl

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Danke, i^n bewegt sich zwischen -1 und 1 also sollte die abschätzung richtig sein und somit die reihe absolut konvergent sein.

bzgl. dem ersten. Wächst den die Exponentialfunktion nicht schneller als die Fakultät ?

13.07.2013, 12:30

Mulder

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Zitat:

Original von Bischoffl
Wächst den die Exponentialfunktion nicht schneller als die Fakultät ?

Nein.

Versuch mal, dir das anschaulich zu machen:

$\begin{eqnarray*} \frac{87^k}{k!} = \frac{87 \cdot 87 \cdot 87 \cdot 87 \cdot 87 \cdot ... \cdot 87 \cdot 87 \cdot 87 \cdot .... \cdot 87 \cdot 87 \cdot 87 \cdot ... }{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot ... \cdot 500 \cdot 501 \cdot ... \cdot 2000000 \cdot 200001 \cdot ... } \end{eqnarray*}$

(die großen Zahlen im Nenner sind jetzt rein willkürlich gewählt)

Zu Beginn - also bei den ersten Faktoren - hauen die Faktoren 87 natürlich mehr rein. Aber wenn man k groß genug wählt, kommen bei der Fakultät ja immer größere Faktoren, während im Zähler bei der Exponentialfunktion immer "nur" mit 87 multipliziert wird. Irgendwann wird die Fakultät dadran vorbeiziehen. Da könnte im Zähler auch $\begin{eqnarray*} 1000000000000^k \end{eqnarray*}$ stehen, da würde die Fakultät im Unenendlichen immer noch "gewinnen".

Die Exponentialfunktion würde nur gewinnen, wenn auch die Basis noch beliebig groß werden würde, also wenn man z.B. sowas wie $\begin{eqnarray*} k^k \end{eqnarray*}$ hätte. Da käme auch die Fakultät nicht hinterher.

13.07.2013, 13:01

Bischoffl

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Zitat:

Original von Mulder

Zitat:

Original von Bischoffl
Wächst den die Exponentialfunktion nicht schneller als die Fakultät ?

Vielen dank. Entscheidender Gedanke den ich bisher nicht betrachtet hatte!

13.07.2013, 20:57

Christof771

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Reihe konvergent?
Ich möchte folgende Reihe auf konvergenz untersuchen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{k^{3}87^{k} }{k!} \end{eqnarray*}$

Ich habe das QK angewendet und bin nun bei

lim k->unendlich (((k+1)^2)87)/k^3)

Kann ich hier eine sofort deutliche Aussage treffen oder habe ich etwas falsch gemacht? Den mir wäre hier z.b. unklar ob sie gegen unendlich oder 0 geht. Da ich nicht weiss ob 87*(k^2 +2k +1) schneller wächst oder nicht als k^3.

Edit(Helferlein): Summe korrigiert und Folgeposting gelöscht.
Da es immer noch um die selbe Fragestellung geht, habe ich die neuen Beiträge an den bestehenden Thread angefügt.

13.07.2013, 22:44

m4themag1er

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RE: Reihe konvergent?
Du weißt nicht, wie das Konvergenzverhalten von

lim k->unendlich (((k+1)^2)87)/k^3)

ist??

13.07.2013, 22:51

Christopf12

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Ja, die 87* im Zähler machen mich unsicher.

13.07.2013, 22:55

m4themag1er

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Ok, ich vermute mal, dass du kein Mathematik-Student bist.

Deswegen sage ich es dir jetzt einfach. Diese 87 hat mit dem Verhalten für k gegen unendlich gar nix zu tun.

Es konvergiert ja z.B.

1/k gegen 0,

sowie z.B. auch

1000/k.

Was du bei (((k+1)^2)87)/k^3) hast ist ja eine rationale Funktion, wobei das Zählerpolynom den Grad 2 hat und das Nennerpolynom den Grad 3 (was strikt größer als 2 ist). Deswegen konvergiert das für k gegen unendlich gegen 0.

13.07.2013, 23:01

Christopf12

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*Etechniker. Freude

Vielen dank. Das ist wirklich eine entscheidende Wissenslücke, die du ebend geschlossen hast!

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Reihe absolut konvergent/Nur konvergent?

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